Streuung in gϕ3gϕ3g\phi^3-Theorie

Question

Streuung in gϕ3gϕ3g\phi^3-Theorie

Physik
Wegintegral
Feynman-Diagramme
lagrangescher Formalismus
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen

Kenneth v. B.

Ich muss die QFT mit dem Lagrange betrachten

L = \underset{= L_{0}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{M^{2}}{2} ϕ^{2}}} \underset{L_{int}}{\underset{⏟}{- \frac{G}{6} ϕ^{3}}} .

$\mathscr{L}=\underbrace{\frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{m^2}{2}\phi^2}_{=\mathscr{L}_0}\underbrace{-\frac{g}{6}\phi^3}_{\mathscr{L}_{\text{int}}}.$

Die Frage ist, die zusammenhängende und zeitlich geordnete Zweipunktfunktion bis zur Ordnung zu finden $g^2$ .

Allgemein $n$ -Punkt-Funktionen sind gegeben durch

G^{(N)} = (- ich)^{N} {[\frac{1}{Z (0)} \frac{δ}{δ J (X_{1}) \cdot} \cdot . . . \cdot \frac{δ}{δ J (X_{N}) \cdot} Z (J)]}_{J = 0}

$G^{(n)}=(-i)^n\left[\frac{1}{Z(0)} \frac{\delta}{\delta J(x_1)\cdot}\cdot ...\cdot\frac{\delta}{\delta J(x_n)\cdot} Z(J)\right]_{J=0}$

Da ich nur an der Zweipunktfunktion interessiert bin, habe ich nur

G^{(2)} = - {[\frac{1}{Z (0)} \frac{δ}{δ J (X_{1}) \cdot} \frac{δ}{δ J (X_{2}) \cdot} Z (J)]}_{J = 0} .

$G^{(2)}=-\left[\frac{1}{Z(0)} \frac{\delta}{\delta J(x_1)\cdot}\frac{\delta}{\delta J(x_2)\cdot} Z(J)\right]_{J=0} .$

Das heißt ich brauche die Zustandssumme Z(J):

Z (J) = \int D ϕ \exp [ich \int D^{4} X (L_{0} + L_{int} - J (X) ϕ (X))] = Z_{0} (J) \cdot \exp [ich \int D^{4} X L_{int}]

$Z(J)=\int \mathscr{D} \phi \exp\left[i\int d^4x \left(\mathscr{L}_0+\mathscr{L}_{\text{int}}-J(x)\phi(x)\right)\right]=Z_0(J)\cdot \exp\left[i\int d^4x\;\mathscr{L}_{\text{int}} \right]$

= Z_{0} (J) \cdot \exp [- ich \frac{G}{3!} \int D^{4} X ϕ^{3} (X)]

$= Z_0(J)\cdot \exp\left[-i\frac{g}{3!}\int d^4x\;\phi^3(x) \right]$

Jetzt kann ich dies bis zur zweiten Ordnung der Exponentialfunktion erweitern

(1 - ich \frac{G}{3!} \int D^{4} X_{1} {(- ich \frac{δ}{δ J (X_{1})})}^{3} + \frac{(- ich)^{2}}{2!} {(\frac{G}{3!})}^{2} \int D^{4} X_{1} D^{4} X_{2} {(- ich \frac{δ}{δ J (X_{1})})}^{3} {(- ich \frac{δ}{δ J (X_{2})})}^{3})

$\left(1-i\frac{g}{3!}\int d^4 x_1 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3+\frac{(-i)^2}{2!}\left(\frac{g}{3!}\right)^2 \int d^4x_1 d^4 x_2 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_2)}\right)^3 \right)$

\cdot \exp [- \frac{ich}{2} \int D^{4} z_{1} D^{4} z_{2} J (z_{1}) G (z_{1} - z_{2}) J (z_{2})]

$\cdot \exp\left[-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4z_2 \; J(z_1) G(z_1-z_2)J(z_2)\right]$

Das bedeutet auf Bestellung $g^0$ Wir sollten den kostenlosen Propagator haben $G^{(2)}_0(x_1,x_2)=G(x_1,x_2)$ . Die Punkte $x_1$ Und $x_2$ durch eine Linie verbunden.

Jetzt kommt der Teil, bei dem ich feststecke:

Der $\int d^4 x_1 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3$ Teil sollte uns einen Scheitelpunkt mit 3 Beinen geben. Wenn ich mich verbinde $x_1$ zum Scheitelpunkt habe ich 3 Möglichkeiten und dann 2 mit $x_2$ zum Scheitel. Aber dann bleibt eine Verbindung übrig. Ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll, wahrscheinlich, weil ich mir nicht sicher bin, was eines dieser Diagramme in Bezug auf echte Teilchenwechselwirkungen bedeutet. Ich bin mir nicht sicher, ob dies zu einem dieser Kaulquappendiagramme führt, über die ich gelesen habe (nicht sicher, was mit "Entfernen der Quelle" gemeint ist).
Und eine weitere Verwirrung sind diese Verbreiter, die ich gefunden habe, als ich diese Theorie recherchiert habe

Sind sie mit der Vakuumblase verbunden oder hängen sie mit meiner Frage zusammen?

Ich freue mich über jede Hilfe, um meine Verwirrung zu lösen.

CAF

Die Vakuumblasen, die Sie dort gezeichnet haben, tragen, wenn Sie so wollen, zur Nullpunktfunktion bei

⟨ 0 | 0 ⟩

$\langle 0 | 0 \rangle$ bei zweiter Bestellung. Die Normalisierung jedes n-Punkt-Korrelators ist so, dass diese in der Störungstheorie Reihenfolge für Reihenfolge entfernt werden.

Antworten (2)

Streuung in gϕ3gϕ3g\phi^3-Theorie

Die Vakuumblasen, die Sie dort gezeichnet haben, tragen, wenn Sie so wollen, zur Nullpunktfunktion bei $\langle 0 | 0 \rangle$ bei zweiter Bestellung. Die Normalisierung jedes n-Punkt-Korrelators ist so, dass diese in der Störungstheorie Reihenfolge für Reihenfolge entfernt werden.

CAF · Answer 1

Der von Ihnen erwähnte dreibeinige Scheitelpunkt entsteht in der Dreipunktfunktion bei $\mathcal O(g)$ . Alle Beiträge zur Zweipunktfunktion bis zu $\mathcal O(g^2)$ wird in der Art eines Feynman-Diagramms zwei beschriftete Quellpunkte haben $x_1$ , $x_2$ mit entweder null, einem oder zwei Wechselwirkungsknoten, mit Kopplung $g$ .

Insbesondere durch Auswertung

Z [J] \sim \exp (- ich \frac{G}{3!} \int D^{4} X {(\frac{δ}{δ J (X)})}^{3}) \exp (- \frac{ich}{2} \int D^{4} z_{1} D^{4} z_{2} J (z_{1}) G (z_{1} - z_{2}) J (z_{2}))

$Z[J] \sim \exp \left(-i\frac{g}{3!} \int d^4 x\, \left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)^3 \right) \exp \left(-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1) G(z_1-z_2) J(z_2)\right)$ systematisch durch eine perturbative Expansion in

g

$g$ Sie können alle Diagramme erhalten. Auf Bestellung

g^{0}

$g^0$ in der Tat alles, was Sie finden, ist der Propagator

G (x_{1} - x_{2})

$G(x_1-x_2)$ zwischen zwei Quellpunkten. Auf Bestellung

g^{0}

$g^0$ ,

⟨ 0 | T (ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2})) | 0 ⟩ = \frac{1}{Z [0]} \frac{δ}{δ J (X_{1})} \frac{δ}{δ J (X_{2})} \exp (- \frac{ich}{2} \int D^{4} z_{1} D^{4} z_{2} J (z_{1}) G (z_{1} - z_{2}) J (z_{2})) |_{J = 0}

$\langle 0 | T(\phi(x_1)\phi(x_2))|0\rangle = \frac{1}{Z[0]} \frac{\delta}{\delta J(x_1)} \frac{\delta}{\delta J(x_2)} \exp \left(-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1) G(z_1-z_2) J(z_2)\right)|_{J=0}$

Auf Bestellung $g$ , haben Sie drei funktionelle Ableitungen in $\mathcal L_{\text{int}}$ was beim Handeln auf $Z_0[J]$ verschwinden aufgrund eines Überschusses an Quelltermen nach der gerade aufgehobenen Differenzierung $J=0$ Trennzeichen.

Bei $\mathcal O(g^2)$ , Sie haben sechs funktionale Ableitungen und es existiert ein nicht verschwindender Beitrag, wenn diese auf den Term vierter Ordnung wirken $Z_0[J]$ nur. Die Interpretation ist, dass drei Ableitungen an einem Scheitelpunkt wirken, was die Dreizackigkeit ergibt $\phi^3$ Interaktion, weitere drei wirken auf einen anderen Scheitelpunkt und die beiden verbleibenden Quellen werden mit identifiziert $x_1$ Und $x_2$ nach dem Handeln mit $\delta/\delta J(x_1)$ Und $\delta/\delta J(x_2)$ .

Überzeugen Sie sich als Übung davon, dass die Terme niedrigerer/höherer Ordnung in $Z_0[J]$ darf nicht beitragen $\mathcal O(g^2)$ zur Zweipunktfunktion. Sie werden natürlich im Allgemeinen zu anderen beitragen $n$ -Punkt-Funktionen.

Und wie funktioniert die $\frac{\delta}{\delta J(x_2)}$ handeln $\exp\left[-\frac{i}{2}\int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1)G(z_1-z_2)J(z_2) \right]$ ? Ich bin funktionale Derivate nicht gewohnt. Ich kenne den Zusammenhang $\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \int d^4 y J(y)\phi(y)=\phi(x_1)$ Hilft das für meine Bewertung?
@Kennethv.B. Sie verwenden die Produktregel zusammen mit zB $\delta J(z_1)/\delta J(x_2) = \delta(z_1-x_2)$ Und $\int d^4 z_1 \delta(z_1-x_2) \phi(z_1) = \phi(x_2)$ . Ist das klar? Ja, diese Beziehung hilft: es ist $\int D^{4} j \frac{δ J (j)}{δ J (X_{1})} ϕ (j) = \int D^{4} j δ (j - X_{1}) ϕ (j) = ϕ (X_{1})$ $\int d^4 y \frac{\delta J(y)}{ \delta J (x_1)} \phi(y) = \int d^4 y \delta(y-x_1)\phi(y) = \phi(x_1)$

Picop · Answer 2

Picop

Sie werden vielleicht durch die Variablen hier verwirrt. Was Sie im letzten Teil Ihres Textes berechnen, sind einige Vakuumgraphen, weil Sie die Ableitungen, die Sie hineinschreiben, nicht eingeschlossen haben $G^{(2)}$ . Mit diesen müssten Sie einige Propagatoren treffen, um eine Verbindung zu den externen Punkten herzustellen $x_1$ Und $x_2$ . Sie finden eine Ein-Schleifen-Korrektur mit zwei internen Scheitelpunkten, die jedoch aus dem Begriff stammt $\frac1{2!} L_{int}^2$ , und zwar der Begriff $L_{int}$ trägt nicht zur Zwei-Punkte-Funktion bei (alle von ihr erstellten Terme haben eine zusätzliche $J$ das verschwindet, nachdem Sie es eingestellt haben $J=0$ ).

Kenneth v. B.

Also zur Bestellung

g^{0}

$g^0$ ich muss rechnen

- {[\frac{1}{Z (0)} \frac{δ}{δ J (X_{1})} \frac{δ}{δ J (X_{2})} \exp [- \frac{ich}{2} \int D^{4} z_{1} D^{4} z_{2} J (z_{1}) G (z_{1} - z_{2}) J (z_{2})]]}_{J = 0}

$-\left[\frac{1}{Z(0)}\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\frac{\delta}{\delta J(x_2)} \exp\left[-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4z_2 \; J(z_1) G(z_1-z_2)J(z_2)\right]\right]_{J=0}$ Wie wende ich die Ableitung auf die J's an? Ich bin nicht sehr vertraut mit funktionellen Derivaten und wie sie auf die Gs wirken

Picop

@Kennethv.B. In der Tat !

Kenneth v. B.

Ich habe meinen ersten Kommentar bearbeitet (keine Benachrichtigung, denke ich). Wie wende ich die Ableitung auf die J's an? Ich bin nicht sehr vertraut mit funktionalen Ableitungen und wie sie auf die J im Integral wirken

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Kenneth v. B.

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