Beweis, dass die effektive/richtige Aktion das erzeugende Funktional von Ein-Teilchen-irreduziblen (1PI) Korrelationsfunktionen ist

Weinberg, QFT 2, in Abschnitt 16.1 in einer Fußnote 2 verweist auf Coleman, Aspects of Symmetry, S. 135-6, das die Funktionen enthält$\hbar$/loop-Erweiterung. Siehe auch Ref. 3 & 4 für eine ähnliche Idee. In dieser Antwort liefern wir ein nicht-induktives Argument in diese Richtung. Eine nette Eigenschaft dieser Argumentation ist, dass wir uns nicht explizit mit lästiger Kombinatorik und Symmetriefaktoren einzelner Feynman-Diagramme befassen müssen. Dies ist im Formalismus bereits fest verdrahtet.

A) Erinnern wir uns zunächst an einige grundlegende Tatsachen aus der Feldtheorie. Der Klassiker (=$\hbar$-unabhängige) Aktion

$$S[\phi]~\equiv~\underbrace{\frac{1}{2}\phi^k (S_2)_{k\ell}\phi^{\ell}}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{S_{\neq 2}[\phi]}_{\text{the rest}}, \tag{A1}$$ ist das erzeugende Funktional für bloße Scheitelpunkte (und den inversen bloßen Propagator$(S_2)_{k\ell}$).

Das Partitionsfunktion/Weg-Integral ist

$$\begin{align} Z[J] ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \underbrace{\left(S[\phi]+J_k \phi^k\right)}_{=:~S_J[\phi]}\right\}\tag{A2} \cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}\tag{A3}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{WKB}\cr\text{approx.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 S[\phi[J]]}{\delta \phi^m \delta \phi^n}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi[J]]+J_k \phi^k[J]\right)\right\}\cr &\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \tag{A4}\end{align}$$ in der stationären Phase/WKB-Näherung$\hbar\to 0$. In Gl. (A4) $$J_k~\approx~-\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^k} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi^k~\approx~\phi^k[J] \tag{A5}$$ sind die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen für das Quantenfeld$\phi^k$.

Beachten Sie in der Diagrammerweiterung (A3), wie ein nackter Scheitelpunkt entsteht$\hbar$-Gewicht$=-1$; ein interner Bare Propagator$(S_2^{-1})^{k\ell}$kommt mit$\hbar$-Gewicht$=+1$; und ein externes Bein kommt mit$\hbar$-Gewicht$=0$.

Das Linked-Cluster-Theorem besagt, dass das erzeugende Funktional für verbundene Diagramme ist

$$W_c[J]~=~\frac{\hbar}{i}\ln Z[J], \tag{A6}$$ vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Beachten Sie, dass das angeschlossene Vakuum sprudelt$W_c[J\!=\!0]=\frac{\hbar}{i}\ln Z[J\!=\!0]$per definitionem mit der Normierung des Pfadintegrals korreliert und daher physikalisch nicht relevant ist. (Wir lassen die Möglichkeit zu, dass es nicht Null ist, um so allgemein wie möglich zu sein.)

Als nächstes erinnern Sie sich an die$\hbar$/loop-expansion

$$L~=~I-V+1, \tag{A7}$$ vgl. meine Phys.SE-Antwort hier . Die$\hbar$/loop-expansion zusammen mit Gl. (A4) & (A6) implizieren, dass das erzeugende Funktional $$W_{c}^{\rm tree}[J]~\stackrel{(A4)+(A6)}{=}~S[\phi] + J_i \phi^i \tag{A8}$$ für zusammenhängende Baumdiagramme ist die Legendre-Transformation der klassischen Aktion. Beachten Sie, dass die EL-Gl. (A5) sind damit kompatibel.

Gl. (A3) und (A6) liefern

$$\begin{align} &W^{\rm tree}_c[J]~\stackrel{(A3)+(A6)}{=}\cr \lim_{\hbar\to 0} \frac{\hbar}{i}& \ln\left( \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\} \right). \end{align}\tag{A9}$$ Beachten Sie, wie Gl. (A9) bezieht sich nur auf Objekte in Gl. (A1) & (A8), und können daher allein als Folge davon angesehen werden.

Gl. (A9) erkennt die Tatsache, dass bei einer beliebigen endlichen Menge von Einfügungen externer Quellen (eine Summe aller möglichen) verbundenen Baumdiagramme (eine Summe aller möglichen) Bäume von bloßen Propagatoren sind$(S_2^{-1})^{k\ell}$und nackte Ecken.

Beachten Sie, dass die Einschleifen-Quadratwurzelfaktoren in Gl. (A3) & (A4) wirken sich nicht auf die Nullschleifen-/Baumformel (A9) & (A8) aus.

$\downarrow$Tabelle 1: Strukturelle Ähnlichkeit zwischen den Abschnitten A und B.

$$\begin{array}{ccc} A &\leftrightarrow & B \cr \phi^k&\leftrightarrow & \phi_{\rm cl}^k \cr S[\phi]&\leftrightarrow &\Gamma[\phi_{\rm cl}]\cr \hbar&\leftrightarrow &\hbar^{\prime} \cr Z[J]&\leftrightarrow &Z_{\Gamma}[J]\cr W^{\rm tree}_c[J]&\leftrightarrow &W_c[J] \end{array}$$

B) Lassen Sie uns abschließend die Frage von OP ansprechen. Berücksichtigen Sie die wirksame/richtige Maßnahme

$$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~\equiv~\underbrace{\frac{1}{2}\phi_{\rm cl}^k (\Gamma_2)_{k\ell}\phi_{\rm cl}^{\ell}}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{\Gamma_{\neq 2}[\phi_{\rm cl}]}_{\text{the rest}}.\tag{B1}$$

Anders als die klassische Wirkung (A1) hängt die effektive Wirkung (B1) (implizit) von der reduzierten Planckschen Konstante ab$\hbar$. Wir möchten eine Loop-Erweiterung bzgl. ein neuer Parameter$\hbar^{\prime}$.

Definieren Sie dazu eine Zustandssumme/Wegintegral

$$\begin{align} Z_{\Gamma}[J] ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_{\rm cl}}{\sqrt{\hbar^{\prime}}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \underbrace{\left(\Gamma[\phi_{\rm cl}]+J_k \phi_{\rm cl}^k\right)}_{=:~\Gamma_J[\phi_{\rm cl}]}\right\} \tag{B2}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (\Gamma_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \Gamma_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar^{\prime}}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar^{\prime}} J_k (\Gamma_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}\tag{B3}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{WKB}\cr\text{approx.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2\Gamma[\phi_{\rm cl}[J]]}{\delta \phi_{\rm cl}^m \delta \phi_{\rm cl}^n}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}}\left(\Gamma[\phi_{\rm cl}[J]]+J_k \phi_{\rm cl}^k[J]\right)\right\}\cr &\left(1+ {\cal O}(\hbar^{\prime})\right) \tag{B4}\end{align}$$ in der stationären Phase/WKB-Näherung$\hbar^{\prime}\to 0$. Auch die EL-Gl. für die effektive Aktion$\Gamma_J[\phi_{\rm cl}]$für den klassischen Bereich$\phi_{\rm cl}^k$lesen $$J_k~\approx~-\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi_{\rm cl}^k~\approx~\phi_{\rm cl}^k[J]. \tag{B5}$$

Erinnern Sie sich, dass die effektive Aktion (B1) per Definition die Legendre-Transformation des erzeugenden Funktionals ist

$$W_{c}[J]~\equiv~\Gamma[\phi_{\rm cl}] + J_k \phi_{\rm cl}^k \tag{B8}$$ für verbundene Diagramme. Beachten Sie, dass die EL-Gl. (B5) sind damit kompatibel.

Aufgrund der strukturellen Ähnlichkeit zwischen zwei Legendre-Transformationen (A8) & (B8), vgl. Tabelle 1 erhalten wir ein Analogon zu Gl. (A9):

$$\begin{align}&W_c[J]~\stackrel{(B3)+(B4)+(B8)}{=}\cr \lim_{\hbar^{\prime}\to 0} \frac{\hbar^{\prime}}{i}& \ln\left( \exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \Gamma_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar^{\prime}}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \exp\left\{- \frac{i}{2\hbar^{\prime}} J_k (\Gamma_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\} \right) .\end{align}\tag{B9}$$ Rückblickend ist Gl. (B9) kann als funktorielle Konsequenz von Gl. (B1) & (B8) allein.

Andererseits sind (eine Summe aller möglichen) verbundene Diagramme bei einer beliebigen endlichen Menge von Einfügungen externer Quellen (eine Summe aller möglichen) Bäume vollständiger Propagatoren$^{\dagger}$ $(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}$und (amputierte) 1PI-Eckpunkte, vgl. Lemma 3.11 in Lit. 5.

Zusammen mit Gl. (B9), schließen wir daraus, dass die wirksame Aktion$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$ist das erzeugende Funktional für (amputierte) 1PI-Eckpunkte (und den inversen vollständigen Propagator$(\Gamma_2)_{k\ell}$).$\Box$

Verweise:

1. S. Weinberg, Quantentheorie der Felder, Bd. 2, 1995; Abschnitt 16.1.

2. S. Coleman, Aspekte der Symmetrie, 1985; p. 135-6.

3. M. Srednicki, QFT, 2007; Kapitel 21. Eine PDF-Datei mit einem Vorveröffentlichungsentwurf ist hier verfügbar .

4. D. Skinner , QFT in 0D , p. 32. (Huttipp: Der letzte Ritter der Seidenstraße .)

5. P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 Online-Vorlesungsunterlagen ; Abschnitte 3.11 & 3.12. (Huttipp: Abdelmalek Abdesselam .)

6. R. Kleiss, Pictures, Paths, Particles, Processes, Feynman Diagrams and All That and the Standard Model , Skript zur Vorlesung, 2013; Abschnitt 1.5.2.

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$^{\dagger}$ Kleingedrucktes:

1. Angenommen, der Generator$W_c[J]$von zusammenhängenden Diagrammen hat keine Terme linear in$J$, so dass die effektive Aktion$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$hat keine Terme linear in$\phi_{\rm cl}$, und so weiter$(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}=-(W_{c,2})^{k\ell}$ist der vollständig verbundene Propagator, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

2. Hier wird der Begriff der Ein-Teilchen-irreduziblen (1PI) Eckpunkte bzgl. definiert. zu Vollverbreitern$(W_{c,2})^{k\ell}$, was dem Begriff der 1PI-Eckpunkte bzgl. entspricht. zu bloßen Vermehrern$(S_2^{-1})^{k\ell}$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Dies hat einen mathematisch strengen Beweis unter Verwendung der graphenbezogenen Gruppentheorie. Sie finden es in den MIT-Vorlesungsunterlagen MATHEMATICAL IDEAS AND NOTIONS OF QUANTUM FIELD THEORY

Auf Seite 13 hat Theorem 3.4 den Beweis. Weitere nützliche Details des Beweises finden Sie in den Cambridge Vorlesungsunterlagen von David Skinner Advanced Quantum Field Theory . Im ersten Kapitel stellte er die sog$0$-dimensionalen Quantenfeldtheorie (dh Gaußsche Integrale) und der Gruppentheorie benötigen Sie zum Verständnis den Beweis aus dem vorangegangenen Skript.