One-Loop-Korrektur zur effektiven Aktion

Question

One-Loop-Korrektur zur effektiven Aktion

Physik
Wegintegral
Störungstheorie
1pi-effektive-Aktion
lagrangescher Formalismus
Quantenfeldtheorie

Sayan Mandal

Das ist vielleicht eine dumme Frage.

In Bailin und Loves „ Cosmology in Gauge Field Theory and String Theory “ beschreiben die Autoren, wie man das effektive Potential bei einer endlichen Temperatur berechnet $T$ (Abschnitt 2.3 , S. 42). Sie beginnen zunächst mit der Behandlung bei Nulltemperatur.

Sie beginnen mit den Worten:

In der Quantenfeldtheorie bei Nulltemperatur der Erwartungswert $\phi_c$ eines Skalarfeldes $\phi$ (auch klassisches Feld genannt) wird durch Minimierung des effektiven Potentials bestimmt $V(\phi_c)$ . Das effektive Potential enthält einen Potentialterm auf Baumebene, der aus der Hamilton-Dichte abgelesen werden kann, und Quantenkorrekturen aus verschiedenen Schleifenordnungen.

Ich kann das verstehen. Sie behaupten jedoch weiter (mit $\phi(x)=\phi_c+\tilde{\phi}(x)$ ),

Die Einschleifen-Quantenkorrektur wird durch Verschieben der Felder berechnet $\phi$ nach ihren Erwartungswerten $\phi_c$ und Isolieren der Terme $\mathcal{L}_\mathrm{quad}(\phi_c,\tilde{\phi})$ in der Lagrange-Dichte, die in den verschobenen Feldern quadratisch sind $\tilde{\phi}$ .

Das ist die Aussage, die mich etwas verwirrt. Warum isolieren wir nur Terme, die in der quadratisch sind $\tilde{\phi}$ , aber keine höheren Kräfte? Es kann Selbstinteraktionsbedingungen geben; tragen diese nicht zur Einschleifenkorrektur bei?

Arturo DonJuan

Kurze Antwort: Es ist nur eine Annäherung, eine Gaußsche / stationäre Phasenannäherung. Wenn du bleibst

ℏ

$\hbar$ dimensional (dh

\neq 1

$\neq 1$ ), so kann die Erweiterung auch als Potenzerweiterung gezeigt werden

ℏ

$\hbar$ (dh Schleifen).

Antworten (2)

One-Loop-Korrektur zur effektiven Aktion

Kurze Antwort: Es ist nur eine Annäherung, eine Gaußsche / stationäre Phasenannäherung. Wenn du bleibst $\hbar$ dimensional (dh $\neq 1$ ), so kann die Erweiterung auch als Potenzerweiterung gezeigt werden $\hbar$ (dh Schleifen).

Knzhou · Answer 1

Dieses Ergebnis ist schematisch zu sehen. Die effektive Aktion wird durch Aufsummieren über 1PI-Diagramme berechnet. Ein Begriff $(\phi_c)^n \tilde{\phi}^m$ in der wirksamen Aktion entspricht einem Scheitelpunkt mit $n$ $\phi_c$ Beine, die das externe klassische Feld sind, und $m$ $\tilde{\phi}$ Beine, über die wir integrieren und die daher in internen Linien erscheinen.

Ein Beispiel für einen One-Loop-Beitrag ist:

wo ich schamlos die Grafik aus diesen Vorlesungsnotizen geklaut habe . Hier stellen die gepunkteten Linien dar $\tilde{\phi}$ Beine und die durchgezogenen Linien repräsentieren extern $\phi_c$ Beine. So finden Sie den Beitrag zum $(\phi_c)^n$ Term des effektiven Potentials, muss man über alle derartigen Diagramme mit summieren $n$ extern $\phi_c$ Beine.

Beachten Sie, dass in diesem Diagramm alle Scheitelpunkte haben $m = 2$ , dh wir betrachten nur quadratische Terme in $\tilde{\phi}$ . Sie können sich durch Zeichnen einiger Diagramme davon überzeugen, dass alle Terme höherer Ordnung mehr als eine Schleife erfordern würden. Das Vorhandensein linearer Terme ( $m = 1$ ) würde diese Zählung durcheinander bringen, weshalb Bailin und Love um das klassische Minimum herum expandieren.

QMechaniker · Answer 2

Dass die Einschleifen-Quantenkorrektur

\exp (\frac{ich}{ℏ} Γ_{1-Schleife} [ϕ_{C l}]) \overset{(13)}{=} D e T {(\frac{1}{ich} \frac{δ^{2} S [ϕ_{C l}]}{δ ϕ_{C l}^{k} δ ϕ_{C l}^{ℓ}})}^{- 1 / 2}

$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\Gamma_{\text{1-loop}}[\phi_{\rm cl}]\right) ~\stackrel{(13)}{=}~ {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right)^{-1/2}$

\overset{Gauß. int.}{\sim} \int D \frac{η}{\sqrt{ℏ}} \exp (\frac{ich}{2 ℏ} η^{k} \frac{δ^{2} S [ϕ_{C l}]}{δ ϕ_{C l}^{k} δ ϕ_{C l}^{ℓ}} η^{ℓ})

$~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}~\int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\frac{i}{2\hbar}\eta^k \frac{\delta^2 S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\eta^{\ell} \right)$

= \int D \frac{η}{\sqrt{ℏ}} \exp ({\frac{ich}{ℏ} S [ϕ_{C l} + η] |}_{quadratisch ein η})

$~=~ \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\left.\frac{i}{\hbar} S[\phi_{\rm cl}+\eta]\right|_{\text{quadratic in }\eta} \right)$

zum effektiven/richtigen Handeln $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$ ist durch die Determinante des Hessischen der Handlung gegeben $S$ ist z. B. in Gl. (13) in meiner Phys.SE-Antwort hier . Dieser Beweis stützte sich auf die stationäre Phase/WKB-Näherung, was wiederum erklärt, warum nur quadratische Fluktuationen auftreten $\eta$ beitragen.

Danke für die sehr hilfreichen Links. Das macht es sehr deutlich.

One-Loop-Korrektur zur effektiven Aktion

Sayan Mandal

Arturo DonJuan

Antworten (2)

Knzhou

QMechaniker

Sayan Mandal

Verwirrung über die Berechnung der effektiven 1PI-Aktion unter Verwendung von Pfadintegralen

In welchem Sinne ist die eigentliche/effektive Wirkung Γ[ϕc]Γ[ϕc]\Gamma[\phi_c] eine quantenkorrigierte klassische Wirkung S[ϕ]S[ϕ]S[\phi]?

Beweis, dass die effektive/richtige Aktion das erzeugende Funktional von Ein-Teilchen-irreduziblen (1PI) Korrelationsfunktionen ist

Störungserweiterung der effektiven Aktion

Definieren von quantenwirksamer/richtiger Wirkung (Legendre-Transformation), Existenz von Umkehrung (Feldquelle)?

Wie berechnet man die quanteneffektive Wirkung aus 1PI-Feynman-Diagrammen?

Wenn :V(ϕ)::V(ϕ)::V(\phi) : nicht-lokal im Raum ist, bedeutet das, dass die wechselwirkende Quantenfeldtheorie nicht-lokal ist?

"Finde die Lagrange-Funktion der Theorie"

Herleitung der Gleichheit δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J]δϕ(x)|0⟩δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J] δϕ(x)|0⟩\frac{\delta \Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ delta\phi(x)}|0\rangle?

Äquivalenz von kanonischer Quantisierung und Pfadintegralquantisierung