Herleitung der Gleichheit δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J]δϕ(x)|0⟩δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J] δϕ(x)|0⟩\frac{\delta \Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ delta\phi(x)}|0\rangle?

Was Sie zeigen wollen, ist weder interessant noch wahr. Das haben wir generell

$$\frac{\delta \Gamma}{\delta \phi_c(x)} = -J_\phi(x),$$ Wo $J_\phi$ist der Quellstrom so, dass $$\langle \phi(x)\rangle_{J_\phi} = \phi_c(x).$$ Ihr Gl. (1) ist falsch, das sagt die Schwinger-Dyson-Gleichung $$\left\langle \frac{\delta S}{\delta \phi} + J \right\rangle_J = 0,\tag{1'}$$ was mit deiner Gl übereinstimmt. (1) nur in dem Fall $J=0$.

Die klassische Bewegungsgleichung von$\Gamma$Ist$J_\phi = 0$, Bedeutung$\langle \phi(x)\rangle_0 = 0 = \phi_c(x)$in einer Lorentz-invarianten Theorie, die keine interessante Gleichung ist und insbesondere nicht von der Form abhängt$S$kann also nicht direkt mit der Schwinger-Dyson-Gleichung in Verbindung gebracht werden.

Der richtige Weg, um zu sehen, wie$\Gamma$codiert die vollständige Quantentheorie "auf klassischem Niveau" nicht , um Bewegungsgleichungen zu berechnen. Die Quantentheorie befasst sich nicht mit der zeitlichen Entwicklung eines klassischen Feldes, es macht keinen Sinn, die klassische Bewegungsgleichung zu erwarten$\Gamma$um die Dynamik der Quantentheorie zu kodieren. Stattdessen gilt die folgende Beziehung:

$$\frac{Z[J]}{Z[0]} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}W[J]} = \int \mathrm{e}^{\mathrm{i}/\hbar\left(S[\phi] + J\phi\right)}\frac{\mathcal{D}\phi}{Z[0]} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}/\hbar\left(\Gamma[\phi_c] + J\phi_c\right)}\tag{3}.$$ Sie könnten sagen, dass dies von der Definition her etwas trivial ist $W$Und $\Gamma$, und es ist irgendwie. Der entscheidende Punkt ist, dass die rhs der klassische Wert ist, der die Zustandssumme dominiert, wenn man nehmen würde $\Gamma$als eigenständige Aktion, das ist die vollständige Quantenverteilungsfunktion von$S$ist durch den klassischen Grenzwert der Quantenzustandssumme von gegeben$\Gamma$. Es ist in diesem Sinne das $\Gamma$ist die "klassische Version" von $S$, nicht im Sinne von Bewegungsgleichungen.