Wie löse ich dieses Gaußsche Pfadintegral?

Question

Wie löse ich dieses Gaußsche Pfadintegral?

Koaala

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Z = \int D [ϕ^{*}] D [ϕ] \exp (ϕ^{*} A ϕ + ϕ B ϕ)

$Z = \int \mathcal D[\phi^*] \mathcal D[\phi] \exp(\phi^*A\phi + \phi B\phi)$

Wo $A$ Und $B$ sind Operatoren. Ich weiß, wie man ein Gaußsches Pfadintegral löst, das nur beteiligt ist $\phi^* A \phi$ aber ich weiß nicht, wie ich mit dem anderen quadratischen Term umgehen soll.

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Lubos Motl · Answer 1

Du teilst einfach $\phi$ zum Real- und Imaginärteil, um die Dinge zu verdeutlichen:

ϕ = F + ich G, ϕ^{*} = F - ich G, F, G \in R

$\phi = f + ig, \quad \phi^* = f-ig, \quad f,g\in{\mathbb R}$ Bis auf einen absolut universellen Normierungsfaktor ist das Integrationsmaß einfach

\int D F D G

$\int {\mathcal D} f \,\,{\mathcal D} g$ und der Exponent im Exponential kann geschrieben werden als

[(F - ich G) A + (F + ich G) B] (F + ich G)

$[(f-ig) A + (f+ig) B] (f+ig)$ Kolumne schreiben

(f, g)^{T}

$(f,g)^T$ als

h

$h$ , der obige bilineare Ausdruck ist nichts anderes als

H M H

$h M h$ wo die Matrix

M

$M$ ist in Blockdiagonalform

M = (\begin{array}{cc} A + B & - ich A + ich B \\ ich A + ich B & A - B \end{array})

$M = \left(\begin{array}{cc}A+B&-iA+iB\\iA+iB&A-B\end{array}\right)$ Nun, ich nehme an, Sie können das Integral berechnen

\int D H \exp (H M H)

$\int {\mathcal D} h\,\exp(hMh)$ das ist völlig analog zu der

\exp (ϕ^{*} A ϕ)

$\exp(\phi^* A \phi)$ Integral. Allerdings mit Matrix

M

$M$ genug, das Integral ist unendlich, weil

M

$M$ ist singulär (unendlich, aufgrund flacher Richtungen), weil die zweite Reihe (von Blöcken) ist

i

$i$ mal das erste. Sie erhalten jedoch ein nichtsinguläres Ergebnis, wenn der Exponent auch das hermitesche Konjugat enthält

ϕ^{*} B^{†} ϕ^{*}

$\phi^* B^\dagger \phi^*$ oder etwas ähnliches.

Wenn es oben algebraische Fehler gibt, sollte es möglich sein, sie zu beheben.

Ah, danke, das macht Sinn. Ich wusste, dass mir etwas Einfaches fehlte. Und ja, Sie haben Recht, das Integral, das ich lösen wollte, hatte ein $\phi^* B^\dagger \phi^*$ Begriff, den ich vergessen habe, in die Frage aufzunehmen.

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