Explizite Berechnung der Erzeugungsfunktion für komplexe Skalarfelder. Wo ist mein Fehler?

Das erzeugende Funktional (das ist alles in Kurzform, schreibe ich F statt wie gewohnt φ für schnelleres Latex):

Z [ J , J ∗ ] = ∬ D F D F ∗ exp ⁡ ich ∫ X ( F X ∗ A F X + J X F X ∗ + J X ∗ F X )

mit A = − ( ◻ + M 2 ) , Verbreiter A D X j = ich δ X j . Schicht F → F + ich ∫ j D X j J j . Das Maß ändert sich nicht. Der Exponent ist gegeben durch (Integrale implizit bei wiederholten Indizes):

( F X ∗ − ich D X j ⋅ J j ∗ ) ( A F X − J X ) + J X F X ∗ + J X ∗ F X + ich J X ∗ ⋅ D X j ⋅ J j − ich J X ⋅ D X j ⋅ J j ∗ =
= F A F − J F ∗ − ich D X j ⋅ J j ∗ ⋅ A F X + ich J X ⋅ D X j ⋅ J j ∗ + J F ∗ + J ∗ F + ich J X ∗ ⋅ D X j ⋅ J j − ich J X ⋅ D X j ⋅ J j ∗

Es gibt 8 Begriffe. Terme 1 und 7 sollen bleiben. Klauseln 2 und 5 entfallen. Klauseln 4 und 8 entfallen. Die Bedingungen 3 und 6 müssen storniert werden, tun es aber nicht. A kann mit zwei Integrationen nach Teilen verschoben werden:

− ich D X j ⋅ J j ∗ ⋅ A F X = − ich A D X j ⋅ J j ∗ ⋅ F X = J X ∗ ⋅ F X = J ∗ F

Anstatt abzubrechen, fügen sie hinzu. Es fehlt ein Minuszeichen. Ich habe diese Berechnung mindestens fünf Mal durchgeführt, ich kann sie nicht finden. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand zeigen könnte, wo ich einen Fehler gemacht habe, oder mir diese explizite Berechnung verlinken könnte (sie muss irgendwo gelöst werden, dies ist eine beliebte Übung).

Ich fange an zu glauben, dass dies eher ein konzeptionelles als ein rechnerisches Problem sein könnte? Vielleicht ergibt sich das Minuszeichen irgendwie aus dem konjugierten Komplex? Diese Berechnung sollte völlig analog zum realen Fall sein, aber aus irgendeinem Grund funktioniert es bei mir nicht.

Sind Sie sicher, dass Sie die Teile richtig integriert haben? Soweit ich sehen kann, hat der Grenzbegriff ein Minuszeichen, aber der verbleibende Begriff (der Ihnen Probleme bereitet) ein Pluszeichen.
Nun, ich integriere zweimal nach Teilen, die Randbedingungen verschwinden, und A ist im Wesentlichen nur eine doppelte Ableitung, also gibt es keinen Vorzeichenwechsel
@Akoben ja, ich habe diesen Thread erstellt. Es ist hier nicht wirklich relevant. Die Integration von Teilen ist anscheinend nicht das Problem.
Was ist das Ziel der Übung? Versuchen Sie, das Skalarfeld herauszuintegrieren?

Antworten (1)

Angenommen, Sie möchten das Skalarfeld integrieren, werde ich eine Antwort geben. In diesem Fall muss das Quadrat vervollständigt werden . Man kann die Grundlagen in einfacher Algebra demonstrieren.

Angenommen, man hat

P = A X j + B X + C j ,
man kann das (umgangssprachlich) so schreiben
P = X A j + X 1 A A B + C A 1 A j .
Die Idee ist jetzt, den gleichen Term zu addieren und zu subtrahieren, damit man das Quadrat vervollständigen kann. Somit,
P = X A j + X A 1 A B + C 1 A A j + C 1 A A 1 A B − C 1 A A 1 A B = ( X + C 1 A ) A ( j + 1 A B ) − C 1 A B .

Das Analoge dazu wollen wir in der Skalarfeldtheorie machen. Was Sie also haben, ist eine Erzeugungsfunktion (Änderung des Begriffs großzügig)

Z [ J , J † ] = ∫ exp ⁡ ( ich ∫ L [ J , J † ] ) D [ ϕ , ϕ † ] ,
Wo
L [ J , J † ] = ϕ † D ϕ + ϕ † J + J † ϕ ,
mit D bezeichnet den Operator in der Bewegungsgleichung. Um das Quadrat zu vervollständigen, beginnen wir damit, es als zu schreiben
L [ J , J † ] = ϕ † D ϕ + ϕ † D G J + J † G D † ϕ ,
Wo G ist der Propagator (Grüne Funktion) so dass D G = 1 . Jetzt addieren und subtrahieren wir den entsprechenden Term
L [ J , J † ] = ϕ † D ϕ + ϕ † D G J + J † G D ϕ + J † G D G J − J † G D G J = ( ϕ † + J † G ) D ( ϕ + G J ) − J † G J .
Nun kann man die Quellen in die Skalarfelder verschieben und das Skalarfeld herausintegrieren, so dass nur noch der Propagator, bekleidet mit den Quellfeldern, übrig bleibt.

Das Problem ist, in meiner Konvention, D G = ich , was ein überflüssiges Minuszeichen erzeugt
Ich habe es herausgefunden. Es scheint ein Fehler zu sein, nur ein Feld zu verschieben, da es sich um unabhängige Freiheitsgrade handelt.
Exzellent. Schön, dass du das Problem erkennen konntest.
Explizite Berechnung der Erzeugungsfunktion für komplexe Skalarfelder. Wo ist mein Fehler?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v