Schwinger-Dyson-Gleichungen: Herleitung einer Bewegungsgleichung für ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Question

Schwinger-Dyson-Gleichungen: Herleitung einer Bewegungsgleichung für ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Physik
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Quantum Eyedea

Ich betrachte die euklidische Klein-Gordon-Theorie mit Aktion

\begin{matrix} (1) & S_{0} [ϕ] = \frac{1}{2} \int D^{4} X ϕ (X) [- \partial_{X}^{2} + M^{2}] ϕ (X) . \end{matrix}

$S_{0}[\phi] = \frac{1}{2}\int~\mathrm d^{4}x ~\phi(x) \left[ - \partial_{x}^{2} + m^{2} \right] \phi(x).\tag{1}$ Meine erzeugende Funktion ist dann gegeben durch:

\begin{matrix} (2) & Z_{0} [J] = \int D [ϕ] \exp (- S_{0} [ϕ] + \int D^{4} X ϕ (X) J (X)) . \end{matrix}

$\mathcal{Z}_{0}[J] = \int \mathcal{D}[\phi]\ \exp\left( - S_{0}[\phi] + \int ~\mathrm d^{4}x \ \phi(x) J(x)\right).\tag{2}$

Ich soll folgende Bewegungsgleichung unter Einbeziehung der Zweipunktfunktion herleiten:
$\begin{matrix} (3) & [- \partial_{j}^{2} + M^{2}] ⟨ ϕ (j) ϕ (X) ⟩ = δ^{(4)} (j - X) . \end{matrix}$ $\left[ - \partial_{y}^{2} + m^{2} \right] \langle \phi(y) \phi(x) \rangle = \delta^{(4)}(y-x).\tag{3}$

Mir wurde gesagt, dies zu tun, indem ich mit der folgenden Definition der Ein-Punkt-Funktion beginne:

\begin{matrix} (4) & ⟨ ϕ (X) ⟩ = \frac{1}{Z_{0} [0]} \frac{δ Z_{0} [J]}{δ J (X)} |_{J = 0} \end{matrix}

$\langle \phi(x) \rangle = \frac{1}{\mathcal{Z}_{0}[0]} \frac{\delta \mathcal{Z}_{0}[J]}{\delta J(x)} \bigg|_{J~=~0} \tag{4}$

Ich soll die Invarianz der funktionalen Integration unter Feldneudefinitionen verwenden; IE. wenn wir ersetzen $\phi(x)$ mit $\phi^{\prime} = \phi(x) + \epsilon(x)$ .

$\$

Ich habe online gesucht und der übliche Ansatz, den ich gesehen habe, besteht darin, die Gleichheit zu betrachten

\begin{matrix} (5) & \int D [ϕ] \exp (- S_{0} [ϕ]) ϕ (X) = \int D [ϕ^{'}] \exp (- S_{0} [ϕ^{'}]) ϕ^{'} (X) \end{matrix}

$\int \mathcal{D}[\phi] \exp( - S_{0}[\phi] ) \phi(x) = \int \mathcal{D}[\phi^{\prime}] \exp( - S_{0}[\phi^{\prime}] ) \phi^{\prime}(x) \tag{5}$ und Durchführen einer Erweiterung in

ϵ

$\epsilon$ .

Wie würden Sie dies beginnend mit tun $\langle \phi(x)\rangle$ ?

Antworten (2)

Schwinger-Dyson-Gleichungen: Herleitung einer Bewegungsgleichung für ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

QMechaniker · Answer 1

Die gesuchte Formel (3) von OP ist ein Spezialfall von Schwinger-Dyson (SD)-Gleichungen

\begin{matrix} (A) & {⟨ Ω | T_{C Ö v} {F [ϕ] \frac{δ S [ϕ; J]}{δ ϕ (j)}} | Ω ⟩}_{J} = ich ℏ {⟨ Ω | T_{C Ö v} {\frac{δ F [ϕ]}{δ ϕ (j)}} | Ω ⟩}_{J} \end{matrix}

$\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(y)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~i\hbar\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(y)} \right\}\right| \Omega \right>_J\tag{A}$

mit

\begin{matrix} (B) & F [ϕ] = ϕ (X), \end{matrix}

$F[\phi]~=~\phi(x),\tag{B}$ und wo

T_{c o v}

$T_{\rm cov}$ bezeichnet eine kovariante Zeitordnung, dh Zeitdifferenzierungen innerhalb ihres Arguments sollten nach/außerhalb der üblichen Zeitordnung genommen werden

T

$T$ .

Die SD-Gl. (A) kann nachgewiesen werden:

entweder durch formale partielle Integration (indem keine Randbeiträge angenommen werden)
$\begin{matrix} (C) & 0 = \int D ϕ \frac{δ}{δ ϕ (j)} (F [ϕ] e^{\frac{ich}{ℏ} S [ϕ; J]}) \end{matrix}$ $0~=~\int\! {\cal D}\phi ~\frac{\delta }{\delta \phi(y)}\left( F[\phi]~e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]}\right)\tag{C}$ innerhalb des Pfadintegrals $\begin{matrix} (D) & \int D ϕ F [ϕ] e^{\frac{ich}{ℏ} S [ϕ; J]} = Z [J] {⟨ Ω | T_{C Ö v} {F [ϕ]} | Ω ⟩}_{J}; \end{matrix}$ $\int\! {\cal D}\phi ~F[\phi]e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]}~=~Z[J]~\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\}\right| \Omega \right>_J~; \tag{D}$
oder äquivalent durch formale infinitesimale Feldneudefinitionen/Neuparametrisierungen der Integrationsvariablen im Pfadintegral (D) (durch Annahme des Pfadintegralmaßes). ${\cal D}\phi$ ist translationsinvariant);
oder über den Operatorformalismus, vgl. zB Art.-Nr. 1.

OP wird gebeten, Methode 2 zu verwenden.

Verweise:

MD Schwartz, QFT und das Standardmodell, 2014; Abschnitt 7.1.

Das würde ich normalerweise posten, kann nicht glauben, dass ich die Chance verpasst habe :) +1. Nur eine Korrektur: Sie brauchen den Quellbegriff nicht wirklich $J$ .

ved · Answer 2

Hier ist eine grobe Skizze, wie es geht. Einige Faktoren von i oder etwas werden nicht berücksichtigt.

Integral $\mathcal{Z}_{0}[J] = \int \mathcal{D}[\phi]\ \exp^{ i\left( - S_{0}[\phi] + \int ~\mathrm d^{4}x \ \phi(x) J(x)\right)}$ kann explizit durch Diskretisierung der Raumzeit ausgewertet werden. Nach Diskretisierung und Division des Integrals in Intervalle (die übliche Art der Auswertung) erhält man

$\int dq_1dq_2...dq_N\ exp^{(\frac{i}{2})q.(-\partial^2+m^2).q+iJ.q}$ , Wo $q$ ist ein Spaltenelement in Matrixform und dieses Integral ergibt sich zu $Ne^{-(i/2)J.D.J}$ (einfache Gaußsche Integration mit N als konstantem Faktor), wobei D die Umkehrung des Differentialoperators ist $(-\partial^2+m^2)$ und mit der $D.D^{-1}=1$ in Kontinuumsgrenze gibt,

$(-\partial^2+m^2)D(x-y)=\delta^4(x-y)$ .

Definition der n-Punkt-Funktion ist, $\langle\phi(x_1)\phi(x_2).....\phi(x_n)\rangle=\left. \frac{1}{i^n}\frac{\delta^nZ_0}{\delta J(x_1)\delta J(x_2)....\delta J(x_n)}\right|_{J~=~0}$

Jetzt nimm, $Z_0(J)=e^{-(i/2)J.D.J}$ wobei der N-Faktor aus der Definition der n-Punkt-Funktion und der Definition von weggelassen wurde $Z_0$ .

Die Zweipunktfunktion ist gegeben als $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=-\left.\frac{\delta^2Z_0}{\delta J(x)\delta J(y)}\right|_{J~=~0}$ . Rechnen mit dem Gegebenen $Z_0$ und Putten $J=0$ Erträge, $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=iD(x,y)$ von dem wir sehen $(-\partial^2+m^2)\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\delta^4(x-y)$ .

Als Referenz siehe Ryders qft-Buch. Eine Punktfunktion verschwindet identisch, aber die funktionale Differentiation des Ausdrucks ergibt wieder die Zweipunktfunktion.

Ich sehe die Logik. Sie beginnen mit der obigen Definition von $< \phi(x) \phi(y) >$ , und du bekommst $<\phi(x)\phi(y)> = i D(x,y)$ Wo $D(x,y)$ ist definiert durch $( -\partial^{2} + m^{2} ) D(x,y) = \delta(x-y)$ . Das macht alles Sinn ... aber warum wird mir dann gesagt, dass ich damit anfangen soll? $<\phi(x)>$ ?
Die Zwei-Punkt-Funktion wird aus der funktionalen Differentiation einer Ein-Punkt-Funktion erhalten, also beginnen Sie mit der Ein-Punkt-Funktion. Einzelheiten finden Sie in Ryder's QFT, Kapitel 6. Es ist viel besser, die funktionale Differenzierung anstelle der Feldneudefinition und Potenzerweiterung eines infinitesimalen Parameters durchzuführen.

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