Schwinger-Dyson-Gleichung für ein Klein-Gordon-Feld

Question

Schwinger-Dyson-Gleichung für ein Klein-Gordon-Feld

Physik
Verbreiter
Wegintegral
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen
Klein-Gordon-Gleichung

Markus Zeto

Ich habe eine Frage zur Verwendung der Schwinger-Dyson-Gleichung für das Klein-Gordon-Feld.

\begin{matrix} (22.23) & \begin{aligned} ich < 0 | T (δ S / δ ϕ (X)) ϕ (X_{1}) \dots | 0 > \\ + < 0 | T δ (X - X_{1}) \dots | 0 > & = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} i <0|T (\delta S / \delta \phi(x) ) \phi(x_1)\ldots |0> &\cr +<0|T\delta(x-x_1)\ldots|0>&=0 .\end{align}\tag{22.23}$ Solange die anderen Einfügungen nicht in der Nähe sind

x

$x$ . So

\begin{matrix} (22.23') & < 0 | T ((- \partial^{2} - M^{2}) ϕ (X)) ϕ (X_{1}) | 0 >= ich δ (X - X_{1}) . \end{matrix}

$<0|T((-\partial^2-m^2)\phi(x))\phi(x_1)|0>=i\delta(x-x_1).\tag{22.23'}$ Nun wird in Srednickis QFT-Buch behauptet, der Klein-Gordon-Operator solle eher außerhalb des VEV liegen, das „ist aus der Pfadintegralformulierung ersichtlich“. Nun, es ist mir nicht klar, obwohl ich die Pfadintegralformulierung niedergeschrieben habe, warum es eher so sein sollte

\begin{matrix} (22.24) & \begin{aligned} (\partial_{X}^{2} + M^{2}) < 0 | T ϕ (X) ϕ (X_{1}) | 0 >= & (\partial_{X}^{2} + M^{2}) Δ (X - X_{1}) \\ = & - ich δ (X - X_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} (\partial_x^2+m^2)<0|T\phi(x)\phi(x_1)|0>=&(\partial_x^2+m^2)\Delta(x-x_1)\cr =&-i\delta (x-x_1). \end{align}\tag{22.24}$ Auf diese Weise wirkt die Ableitung auch auf die Sprungfunktionen in zeitlicher Reihenfolge. Der Einfachheit halber schreibe ich auch die Pfadintegraldarstellung der ersten Formel auf:

\begin{matrix} (22.22) & 0 = \int D ϕ e^{ich S (ϕ)} (ich \frac{δ S}{δ ϕ (X)} ϕ (X_{1}) + δ (X - X_{1})) . \end{matrix}

$0=\int D\phi \ e^{iS(\phi)}(i \frac{\delta S}{\delta \phi(x)} \phi(x_1) +\delta(x-x_1)).\tag{22.22}$

AccidentalFourierTransform

Srednicki ist schlampig. Die wirkliche Rechtfertigung ist, dass das Pfad-Integral-Zeitordnungssymbol das kovariante ist, nicht das naive, und das erstere mit Raum-Zeit-Ableitungen pendelt. Sie werden in Srednickis Buch keine richtige Erklärung finden, also müssen Sie seine Behauptungen akzeptieren und lernen, damit zu leben. Trotzdem ein nettes Buch, wenn man bedenkt, dass er nicht versucht, präzise oder streng zu sein.

Prof. Legolasov

Versuchen Sie, die Ableitung durch eine Finite-Differenzen-Näherung zu ersetzen. Es sollte ersichtlich sein, warum es mit dem Wegintegral daraus pendelt.

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/197313/2451 , physical.stackexchange.com/q/296309/2451 und Links darin.

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Schwinger-Dyson-Gleichung für ein Klein-Gordon-Feld

Srednicki ist schlampig. Die wirkliche Rechtfertigung ist, dass das Pfad-Integral-Zeitordnungssymbol das kovariante ist, nicht das naive, und das erstere mit Raum-Zeit-Ableitungen pendelt. Sie werden in Srednickis Buch keine richtige Erklärung finden, also müssen Sie seine Behauptungen akzeptieren und lernen, damit zu leben. Trotzdem ein nettes Buch, wenn man bedenkt, dass er nicht versucht, präzise oder streng zu sein.
Versuchen Sie, die Ableitung durch eine Finite-Differenzen-Näherung zu ersetzen. Es sollte ersichtlich sein, warum es mit dem Wegintegral daraus pendelt.
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QMechaniker · Answer 1

Der obige Kommentar von AccidentalFourierTransform ist genau richtig: Der Punkt ist, dass Srednickis Zeitreihenfolge $T$ sollte durch kovariante Zeitordnung ersetzt werden $T_{\rm cov}$ , dh Zeitdifferenzierungen innerhalb seines Arguments sollten nach/außerhalb der üblichen Zeitreihenfolge genommen werden $T$ .

Dies löst den offensichtlichen Konflikt/Widerspruch zwischen Srednickis Gleichungen. (22.23') und (22.24). Mit anderen Worten, die 2-Punkt-Funktion $\left<T\{\phi\phi\} \right>$ kann nur die Greens-Funktion sein $\Delta$ wenn wir verwenden $T_{\rm cov}$ anstatt $T$ in der SD-Gl. (22.23).
Allgemeiner gesagt, die formelle Korrespondenz/Wörterbuch zwischen
$\begin{matrix} (A) & Operatorformulierung \leftrightarrow Pfadintegralformulierung \end{matrix}$ $\text{operator formulation} \quad\leftrightarrow\quad \text{path integral formulation}\tag{A}$ Ist $\begin{matrix} (B) & \begin{aligned} {⟨ Ω | T_{C Ö v} {F [ϕ]} | Ω ⟩}_{J} = & \frac{1}{Z [J]} \int D ϕ F [ϕ] \exp {\frac{ich}{ℏ} S [ϕ; J]} \\ = & \frac{1}{Z [J]} F [\frac{ℏ}{ich} \frac{δ}{δ J}] Z [J], \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\} \right| \Omega \right>_J ~=~& \frac{1}{Z[J]}\int \! {\cal D}\phi~F[\phi]~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\}\cr ~=~& \frac{1}{Z[J]}F\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J} \right]Z[J],\end{align}\tag{B}$ Wo $F$ eine beliebige Funktion ist und wo die Partitionsfunktion / das Pfadintegral ist $\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} Z [J] := & \int D ϕ \exp {\frac{ich}{ℏ} S [ϕ; J]}, \\ S [ϕ; J] := & S [ϕ] + J_{k} ϕ^{k}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z[J]~:=~& \int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\},\cr S[\phi;J]~:=~&S[\phi]+J_k\phi^k, \end{align}\tag{C}$ Die Entsprechung (B) folgt aus dem zugrunde liegenden Zeitscheibenverfahren von Pfadintegralen. Siehe zB diese und diese Phys.SE-Antwort.
Nun zum Hauptpunkt: Beachten Sie, wie das Wörterbuch (B) natürlich spricht $T_{\rm cov}$ statt $T$ : Wenn die funktional $F$ enthält keine Zeitableitungen, es spielt keine Rolle, ob wir verwenden $T$ oder $T_{\rm cov}$ . Wie auch immer, wenn $F$ Zeitableitungen enthält, werden sie außerhalb des Korrelators angewendet, dh die Zeitreihenfolge ist $T_{\rm cov}$ .
Beispiel. Wenn
$\begin{matrix} (D) & F [ϕ] = \prod_{ich = 1}^{N} {(\frac{\partial}{\partial T_{ich}})}^{M_{ich}} ϕ (T_{ich}), \end{matrix}$ $F[\phi]~=~\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i} \phi(t_i),\tag{D}$ Dann $\begin{matrix} (E) & \begin{aligned} \frac{1}{Z [J]} & F [\frac{ℏ}{ich} \frac{δ}{δ J}] Z [J] \\ \overset{(D)}{=} & \frac{1}{Z [J]} [\prod_{ich = 1}^{N} {(\frac{\partial}{\partial T_{ich}})}^{M_{ich}}] \int D ϕ \exp {\frac{ich}{ℏ} S [ϕ; J]} \prod_{J = 1}^{N} ϕ (T_{J}) \\ \overset{(B)}{=} & [\prod_{ich = 1}^{N} {(\frac{\partial}{\partial T_{ich}})}^{M_{ich}}] {⟨ Ω | T {\prod_{J = 1}^{N} ϕ (T_{J})} | Ω ⟩}_{J} \\ \overset{(D)}{=} & {⟨ Ω | T_{C Ö v} {F [ϕ]} | Ω ⟩}_{J} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\frac{1}{Z[J]}&F\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J} \right]Z[J]\cr ~\stackrel{(D)}{=}~&\frac{1}{Z[J]}\left[\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i}\right]\int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\}\prod_{j=1}^n\phi(t_j)\cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\left[\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i}\right]\left< \Omega \left| T\left\{ \prod_{j=1}^n\phi(t_j)\right\} \right| \Omega \right>_J\cr ~\stackrel{(D)}{=}~&\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\} \right| \Omega \right>_J. \end{align}\tag{E}$
Dann werden die Schwinger-Dyson (SD)-Gleichungen
$\begin{matrix} (F) & {⟨ Ω | T_{C Ö v} {F [ϕ] \frac{δ S [ϕ; J]}{δ ϕ (X)}} | Ω ⟩}_{J} = ich ℏ {⟨ Ω | T_{C Ö v} {\frac{δ F [ϕ]}{δ ϕ (X)}} | Ω ⟩}_{J}, \end{matrix}$ $\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(x)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~i\hbar\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)} \right\}\right| \Omega \right>_J ~, \tag{F}$ vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Im Gegensatz dazu verwenden wir nur die übliche Zeitbestellung $T$ , erhalten wir den Kontaktbegriff nicht:
$\begin{matrix} (G) & {⟨ Ω | T {F [ϕ] \frac{δ S [ϕ; J]}{δ ϕ (X)}} | Ω ⟩}_{J} = 0, \end{matrix}$ $\left< \Omega \left| T\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(x)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~0, \tag{G}$ weil die EOMs im Quantenmittel zufrieden sind, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

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