Frage zur Grundlage von Teil I im Buch von A. Zee

Zee sagt in Abschnitt I.3 von QFT auf den Punkt gebracht:

Das Funktionsintegral

(11) Z = ∫ D φ e ich ∫ D 4 X [ 1 2 ( ∂ φ ) 2 − v ( φ ) + J ( X ) φ ( X ) ]
ist unmöglich zu tun, außer wann
(12) L ( φ ) = 1 2 [ ( ∂ φ ) 2 − M 2 φ 2 ] .

Die entsprechende Theorie wird als freie oder Gaußsche Theorie bezeichnet.

Diese Einschränkung bringt plötzlich die Klein-Gordon-Gleichung hervor und lässt praktisch auch den gesamten Teil I des Buches so weiterlaufen, wie er ist.

Also zweieinhalb Fragen:

  1. Wie kann ich die Notwendigkeit dieser Einschränkung verstehen? Und was heißt hier „unmöglich“?
  2. Als sich Teil I entfaltet, erklärt Zee, dass das obige nicht so sehr zur Lösung "bestimmt" ist, sondern vielmehr ein erzeugendes Funktional ist. Warum ist die Einschränkung überhaupt notwendig?
Ich wollte Sie fragen , was "unmöglich" hier bedeuten soll! Ich glaube nicht, dass es irgendetwas mit einer strengen Bedeutung bedeutet. Der allgemeine Begriff des Lorentzschen Pfadintegrals ist mathematisch nicht gut als Integral definiert, da er nicht auf einem wahren Maß basiert. Es kann zum Beispiel als ein „Grenzwert“-Begriff definiert werden, der sich auf gut definierte mathematische Werkzeuge stützt (zum Beispiel euklidisches Pfadintegral). Vielleicht würde der Autor meinen, dass diese Verfahren nicht funktionieren, wenn die Aktion nicht die Standard-KG-Aktion ist. Aber ich glaube nicht, dass es allgemein stimmt.
Ich sehe Ihre Korrektur unmöglich "zu tun", dh explizit zu berechnen? In der Tat werden die anderen Fälle normalerweise nur pertubativ behandelt.
@Qmechanic Danke für die Änderungen. Ich werde meinen Standard für meine zukünftigen Fragen erhöhen :)

Antworten (1)

Lassen Sie mich zunächst Folgendes sagen: Wenn jemand (vielleicht Sie, @V.Moretti?) In der Lage wäre, eine mathematisch orientiertere Perspektive auf diese Frage zu geben, wäre dies meiner Meinung nach eine wertvolle Ergänzung zu dieser Antwort, die dies kann als pragmatisch (oder handgewellt, je nachdem, wen man fragt!) und nicht als tiefgehend charakterisiert werden.

Davon abgesehen beantworte ich nun beide Teilfragen:

  1. Ich denke, hinter dieser Aussage von Zee steckt nichts allzu Tiefgründiges. Insbesondere glaube ich nicht, dass er eine strenge Aussage über die Wohldefiniertheit des Pfadintegrals und die Art und Weise machen will, wie dies von der bestimmten Form von abhängen kann (oder auch nicht). L . Er meint einfach, dass die Freifeldtheorie es uns erlaubt – alle ernsthaften mathematischen Probleme, die mit der Definition des Pfadintegralmaßes usw. usw. verbunden sind, unter den Teppich zu kehren – diese Integration explizit durchzuführen, da alles auf nichts anderes hinausläuft als (eine verallgemeinerte Version von) dem standardmäßigen Gaußschen Integral

    ∫ R e − X 2 D X
    In jedem ernsthaften Modell der Wechselwirkungen zwischen Elementarteilchen müssen wir (wenig überraschend) Wechselwirkungsterme berücksichtigen . Diese verderben die Einfachheit des Integrals – wiederum unter Vernachlässigung vieler mathematischer Probleme – und werden normalerweise durch eine Störungsentwicklung angegriffen, im Gegensatz zu einer exakten Lösung.

  2. Die erste Betrachtung einer Freifeldtheorie ist physikalisch aufschlussreich, da wir normalerweise um die Freifeldtheorie herum expandieren (in dem Sinne, dass wir kleine/schwache Wechselwirkungen betrachten). Darüber hinaus ist die mathematische Behandlung von interagierenden Theorien ziemlich ähnlich, so dass die Freifeld-Lagrangedichte auch in diesem Aspekt als hervorragende Aufwärmübung angesehen werden kann, die es dem Anfänger ermöglicht, eine gewisse Intuition und Vertrautheit mit gängigen Techniken aufzubauen.

Ich vermute, das Maßproblem wird durch die mögliche 0 und die negative (quadratische) Länge der Segmente verursacht. Wo kann ich darüber nachlesen?
Frage zur Grundlage von Teil I im Buch von A. Zee
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v