Warum ist der Freifeldoperator derselbe, wenn Wechselwirkungen vorhanden sind?

In der freien Skalartheorie hätte das Feld den Ausdruck

ϕ ( X ) = ∫ D 3 P ( 2 π ) 3 2 E P A P e − ich P μ X μ + A P † e ich P μ X μ
Angenommen, wir haben eine Wechselwirkung mit einem komplexen Feld ψ , so dass der Lagrangian den Interaktionsterm hat
L = − G ψ † ψ ϕ
Mein Zweifel ist: tun die Feldoperatoren ϕ ( X ) Und ψ ( X ) denselben Ausdruck haben wie in der freien Theorie? Es scheint, dass dies wahr ist, aber ich bin mir nicht sicher, warum.

Ich dachte an diese Möglichkeiten:

  1. Wir befinden uns im Interaktionsbild, was bedeutet, dass die Evolution der Operatoren durch den freien Hamiltonian bestimmt wird. Das heißt, wenn wir vom Schrödinger-Bild zum Wechselwirkungsbild gehen, brauchen wir nur den freien Hamilton-Operator. Dennoch sollte der Operator im Schrödinger-Bild durch die Wechselwirkung modifiziert werden. Immerhin wurde der Ausdruck für das freie Feld durch Lösen der Klein-Gordon-Gleichung und Quantisierung der Lösung erhalten. Auf die gleiche Weise sollten wir die Bewegungsgleichungen lösen, die so etwas wie sein werden

    ( ◻ + M 2 ) ϕ = − G ϕ ψ
    und dann quantisieren.

  2. Da wir Störungstheorie betreiben, ändert sich das Feld nicht viel und es ist eine gute Annäherung.

  3. Der Feldausdruck ist unabhängig vom Lagrangian.
Ihr Punkt Nummer 1 ist richtig.
@Prahar Könnten Sie das näher erläutern? Warum wird die Positionsabhängigkeit von der Interaktion nicht beeinflusst?
Ich denke, wonach Sie suchen, heißt LSZ-Reduktionsformalismus. Es ist jedoch eher phänomenologisch (da es asymptotische Zustände annimmt). Soweit ich weiß, gibt es keinen rigorosen Ansatz für dieses Problem (mathematisch gibt es das Interaktionsbild in QFT nicht einmal). Wahrscheinlich ist es hier am besten, den LSZ-Formalizmus (trotz seiner offensichtlichen Mängel) als einen zu akzeptieren, der die Streuung korrekt beschreibt (wenn die Kopplung klein ist) und dieses Problem zu vergessen und sich auf die Berechnung der zeitgeordneten Operatorprodukterwartungen zu konzentrieren.

Antworten (1)

Die streng definierte Form der Wechselwirkungsfelder in 3 + 1 Dimension ist (noch) nicht bekannt, wird sich aber höchstwahrscheinlich von der Freifeldform unterscheiden .

Es gibt ein a priori Ergebnis, das die Dinge gleichzeitig klärt und durcheinander bringt: der Satz von Haag. Bevor ich versuche, das Ergebnis und einige der Konsequenzen anzudeuten, möchte ich darauf hinweisen, dass im Gegensatz zu dem, was sonst in diesem Forum behauptet wird (und unter Physikern weit verbreitet zu sein scheint), der Satz von Haag tatsächlich gilt:

  • ist etwas Wahres, das berücksichtigt werden muss;

  • verkompliziert das naive Wechselwirkungsbild für Quantenfelder;

  • hindert nicht daran, eine gute mathematische Theorie der QFT zu formulieren und mit den störenden Ergebnissen der theoretischen Physik übereinzustimmen.

Das heißt, der Satz von Haag besagt in sehr vereinfachter Form Folgendes:

Es gibt unendlich viele inäquivalente Darstellungen der kanonischen Vertauschungsbeziehungen (für die Quantenfelder). Unter ihnen sind die Darstellung einer freien und einer entsprechenden interagierenden Theorie (die beide die Wightman-Axiome erfüllen) unäquivalent .

Die Wightman-Axiome sind mathematische Axiome, die als minimale Voraussetzung für eine mathematisch gut definierte Quantentheorie von Feldern angesehen werden und von denen bekannt ist, dass sie von den freien Theorien und einigen Wechselwirkungstheorien in niedriger Dimension (z φ 4 In 2 + 1 Maße). Allerdings keine Wechselwirkungstheorie in 3 + 1 Dimensionen erfüllen bekanntlich die Axiome.

Trotzdem liefert das Haagsche Theorem eine a priori Information: Freie und wechselwirkende Quantenfelder sind inäquivalente Darstellungen des CCR. Das bedeutet, dass die Wechselwirkungsfelder nicht mit den freien Feldern identisch sind; und haben wahrscheinlich nicht die gleiche Form, dh sie sind wahrscheinlich nicht in Fock-Darstellung. Ich sage wahrscheinlich, weil es Fock-Darstellungen gibt, die untereinander einheitlich inäquivalent sind, also verhindert der Satz von Haag nicht, dass die wechselwirkenden Felder Fock sind, nur müssen sie in Bezug auf die freien mindestens eine "inäquivalente Fock" sein.

Außerdem wissen wir (aus den wenigen rigorosen Beispielen, die wir haben), dass die Form der wechselwirkenden Felder tatsächlich von der vorliegenden Theorie abhängt: So kann das wechselwirkende Feld für einige Theorien in einer Fock-Darstellung vorliegen, für andere in einer Nicht-Darstellung. Fick eins.

Lassen Sie mich die Antwort mit einer Bemerkung abschließen, dass man, auch wenn die freie und die wechselwirkende Theorie nicht einheitlich äquivalent sind, eine Streutheorie entwickeln kann, die die den Physikern bekannten Ergebnisse liefert (z. B. die LSZ-Reduktionsformeln), aber auch damit übereinstimmt Satz von Haag: Diese Theorie heißt Haag-Ruelle-Streutheorie (und kann im dritten Band der Bücher von Reed-Simon nachgelesen werden).

Guter Kommentar! Können Sie Literatur empfehlen, die sich mit dem Übergang in eine darstellungsfreie Phase der Theorie (td. Grenze) befasst?
@Hamurabi Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Anfrage genau verstehe ... soweit ich weiß, sind die einzigen vollständig darstellungsfreien QFT-Ergebnisse die der algebraischen Quantenfeldtheorie (AQFT). Das Referenz- und Gründungspapier zu diesem Ansatz stammt von Haag und Kastler. Ich glaube jedoch nicht, dass es möglich ist, dynamische Ergebnisse innerhalb von AQFT zu finden. Um störungsfreie dynamische Ergebnisse zu erhalten, müssen Sie normalerweise entweder eine Pfadintegralformulierung verwenden (jedoch oft mathematisch schlecht definiert) oder Manipulationen, die von der Fock-Darstellung ausgehen.
@Hamurabi Wenn Sie jedoch nach Literatur zu einem spezifischeren Thema suchen, kann ich (nicht sicher) helfen
Warum ist der Freifeldoperator derselbe, wenn Wechselwirkungen vorhanden sind?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v