Wie verbinde ich die grüne Funktion mit dem Propagator?

Ich weiß, dass es bereits viele Fragen zu dieser Frage gab, z. B. in Differentiating Propagator , Green's function, Correlation Function usw. Diese Frage unterscheidet jedoch hauptsächlich die Green-Funktion und den Kernel, diskutieren Sie nur kurz den Propagator, wie wir ihn oft kennen. Jetzt möchte ich keine anderen Fragen zu dieser Frage duplizieren. Wenn Sie andere verwandte Fragen finden, informieren Sie mich bitte und ich werde sie löschen. Ich habe nur keine zufriedenstellende Antwort gefunden. Genauer gesagt, was ich mit Propagator meine, ist Folgendes:

Δ ( X , T ; X ' , T ' ) = ⟨ X | U ( T , T ' ) | X ' ⟩

Oder in den QFT-Einstellungen

Δ ( X , T ; X ' , T ' ) = ⟨ 0 | T [ ϕ ( H ) ( X ' , T ' ) ϕ † ( H ) ( X , T ) ] | 0 ⟩ .

Ich möchte wissen, wie ich dies mit der grünen Funktion oder Korrelationsfunktion verbinden kann, die als (zwei Punkte) definiert ist.

G ( X 1 , X 2 ) = ⟨ ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ⟩ = ∫ D ϕ e − S [ ϕ ] ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) Z .

In meinem eigenen Versuch, dies zu verstehen, könnten wir versuchen, die grüne Funktion wie folgt zu schreiben. (In QFT-Einstellungen)

G ( X 1 , T 1 ; X 2 , T 2 ) = ⟨ T [ ϕ ( H ) ( X 1 , T 1 ) ϕ † ( H ) ( X 2 , T 2 ) ] ⟩ = ⟨ T [ e ich H T 1 ϕ ( X 1 ) e − ich H ( T 1 − T 2 ) ϕ † ( X 2 ) e − ich H T 2 ] ⟩ .

Jetzt fühlt es sich an wie die Evolutionsfunktion im Propagator, aber wie kann man mit dem „Erwartungswert“-Teil der grünen Funktionsdefinition umgehen, der in der Propagatordefinition fehlt?

Ich kenne auch diese Partitionsfunktion Z könnte mit dem Integral des imaginären Zeitpropagators verwandt sein, konnte aber all diese unscharfen Dinge nicht wirklich auf einmal an Ort und Stelle bringen.

Ihre Definition der Zweipunktfunktion wird in Pfad-Integral-Sprache angegeben, während der Ausdruck für Δ ist in Bedienersprache geschrieben. Beide Sprachen sind gleich, sie beschreiben die gleichen Größen. Nur einen Unterschied sollten Sie beachten: Grüne Funktion löst Gleichung L F = RHS , wobei RHS eine Delta-Funktion enthalten kann oder nicht.
Schlagen Sie das erste Kapitel der Quantenfeldtheorie auf einem Gitter von Montvay und Munster nach, Sie werden eine mathematisch rigorose Behandlung des Themas finden
@David Morgante. Oh Danke! Ich habe das Buch gerade gelesen, es ist großartig! Ich glaube, ich übersehe hier zwei entscheidende Punkte: 1) der Erwartungswert ist „Grundzustandserwartung“ und nicht „thermische Erwartung“; 2) Wenn wir in Pfadintegralsprache arbeiten, müssen wir nehmen τ bis unendlich, um den Erwartungswert des Grundzustands zum dominierenden Term in der Spur zu machen. Ist mein Verständnis richtig?
Ich denke, das Buch von J. Zinn-Justin, Pfad integral in der Quantenmechanik, gibt auch eine ausgezeichnete Beschreibung des Themas, wen es betreffen mag.
Wenn Sie den zeitgeordneten Operator buchstabieren, können Sie schreiben, was Sie den (kausalen) Propagator in Bezug auf Korrelatoren nennen. Es gibt keine schwarze Magie.

Antworten (1)

In Ordnung, nachdem ich tagelang Lehrbücher durchgesehen habe, bekomme ich endlich ein Gefühl dafür, wie die Dinge angeordnet sind. Ich werde versuchen, alle Dinge zusammenzustellen, um eine klare Unterscheidung für die Leute zu geben, die auch dadurch verwirrt sind.

Im Grunde ist es also der Unterschied zwischen der Operatorsprache und der Pfadintegralsprache, und sie nutzt die Tatsache, dass die Echtzeit-Grünfunktion bei Nulltemperatur definiert ist.

In der Pfadintegralformulierung sprechen wir eher vom Erwartungswert, also schreiben wir in dieser Sprache die grüne Funktion als Erwartungswert der „reinen Funktion“ oder „Korrelationsfunktion“, es gibt keinen Operator mehr:

G ( X 1 , X 2 ) = ⟨ ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ⟩

Bei der Operatorformulierung kümmern wir uns eher darum, wie der Operator mit den Zuständen arbeitet und was sein Ergebnis ist. In dieser Sprache schreiben wir die grüne Funktion in den Erwartungswert der Matrixelemente der Operatoren.

G ( X 1 , X 2 ) = ⟨ T [ ϕ ( X 1 , T 1 ) ϕ † ( X 2 , T 2 ) ] ⟩

Bei dieser Erwartungswertberechnung stehen wir tatsächlich vor zwei Situationen, endliche Temperatur oder Nulltemperatur. Im Nulltemperatur-Szenario dominieren die Beiträge des Grundzustands und wir könnten den Erwartungswert des Operators schreiben als:

G ( X 1 , X 2 ) = ⟨ 0 | T [ ϕ ( X 1 , T 1 ) ϕ † ( X 2 , T 2 ) ] | 0 ⟩

Und das nennen wir normalerweise „Propagator“.

Wie verbinde ich die grüne Funktion mit dem Propagator?
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