Polchinski-Buch, Zweifel im Zusammenhang mit X0X0X_{0}

Ich lese Polchinskis Buch und wollte fragen, ob ich falsch gerechnet habe oder etw nicht verstanden habe. Nun, im Grunde.

$$Z[p]=\int [DX^{\mu}]e^{-S[X]}e^{ipX}$$ $$=(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\det{}^{\prime}\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)^{-d/2}\exp(-\frac{1}{2}\int d^{2}\sigma_{1} d^{2}\sigma_{2}p_{\mu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma_{2})).\tag{6.2.6}$$ Hier, $$(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})=\prod_{i=1}^{d}\int dx^{i}_{0}\exp\left(ix^{i}_{0}\int d^{2}\sigma X_{0}(\sigma)p_{i}(\sigma)\right).$$ Diese Gleichheiten finden Sie in Kapitel 6, Seite 170. Also habe ich über die Bedeutung von nachgedacht $X_{0}$, was für mich der Kern des Laplace-Operators ist. Tatsächlich habe ich versucht, dies zu machen.

Ich gehe von dieser Gleichung aus:($-\frac{\delta}{\delta X_{\mu}(\sigma)}\langle X^{\nu}(\sigma')\rangle=0$)

$$\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\langle X^{\mu}(\sigma)X^{\nu}(\sigma')\rangle=-\eta^{\mu\nu}g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')\langle 1\rangle$$ $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}Z[p]|_{p=0}=-\eta^{\mu\nu}g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')Z[p]|_{p=0}$$ $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}Z[p]|_{p=0}=\frac {1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}[...]$$ Dies ist der gesamte Ausdruck von $[...]$ $$[...]=\det\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\eta^{\mu\nu}G'(\sigma,\sigma')\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\right.$$ $$-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\left((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right)\left\lbrace-\int d^{2}\sigma_{1}p^{\nu}(\sigma_{1})G'(\sigma_{1},\sigma')\right\rbrace\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)+(\mu\leftrightarrow\nu,\sigma\leftrightarrow\sigma')$$ $$-(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\left\lbrace\int d^{2}\sigma_{1}d^{2}\sigma_{2}p^{\nu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma')G'(\sigma_{2},\sigma)\right\rbrace\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)$$ $$-\left.\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right)\exp \left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\right]\vert_{p=0}$$

Also brauche ich das nächste Ergebnis:

$$[..2..]=-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right]_{p=0}=-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left[\prod_{i=1}^{d}\int dx^{i}_{0}\exp\left(ix^{i}_{0}\int d^{2}\sigma p_{i}(\sigma)X_{0}(\sigma)\right)\right]_{p=0}$$

$$[..2..]=\left[\prod_{i=1,i\neq\nu\neq\mu}^{d}(2\pi)\delta(p_{i0})\int dx^{\nu}_{0}x^{\nu}_{0}X_{0}(\sigma')\exp\left(ix^{\nu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\nu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)\times\right.$$ $$\int dx^{\mu}_{0}x^{\mu}_{0}X_{0}(\sigma)\exp\left(ix^{\mu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\mu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)$$ $$+\left.\prod_{i=1,i\neq\nu=\mu}^{d}(2\pi)\delta(p_{i0})\int dx^{\mu}_{0}(x^{\mu}_{0})^{2}X_{0}(\sigma)X_{0}(\sigma')\exp\left(ix^{\mu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\mu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)\right]$$ Das ist, $\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}[..2..]=0$( $\nabla^{2}X_{0}=0$) , Habe ich recht?.

Jede Operation herausfinden:

$$\nabla^{2}[...]=\det\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)\exp \left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\eta^{\mu\nu}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')\right.$$ $$-\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0}))\left\lbrace -\int d^{2}\sigma_{1}p^{\mu}(\sigma_{1})\nabla^{2}G'(\sigma_{1},\sigma \right\rbrace$$ $$\left.-(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\left\lbrace\int d^{2}\sigma_{1}d^{2}\sigma_{2}p^{\nu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma')\nabla^{2}G'(\sigma_{2},\sigma)\right\rbrace\right]\vert_{p=0}$$

Am Ende bekam ich das nächste Ergebnis:

$$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')=g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')$$ Also, ich gehe davon aus, dass ich einen Fehler gemacht habe, aber ich habe keine Ahnung wo. Richtige Lösung: $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')=g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')-X_{0}^{2}$$

ANMERKUNG 1: Ich versuche, dieses Ergebnis zu erhalten, weil ich eine Beziehung zwischen finden möchte$X_{0}$Und$\frac{\alpha'}{2}\ln d^{2}(\sigma,\sigma')$. Soweit ich weiß, ist diese letzte Menge die Menge, die es mir ermöglicht, Operatoren zu renormalisieren und mit OPEs zu arbeiten. Das erste Mal, dass ich diesen Betrag sah, war, als ich versuchte, es herauszufinden$\langle X^{\mu}(\sigma)X^{\nu}(\sigma')\rangle$und Polchinski definierte die normale Reihenfolge.