Pfadintegral des Z2Z2Z_2-orbifold freien Bosons auf Torus

Die Partitionsfunktion von$Z_2$-orbifold freies Boson auf 2-Torus (parametrisiert durch$\tau\equiv\omega_2/\omega_1$) wird durch Operatorformalismus abgeleitet. Ich möchte es im pfadintegralen Ansatz betrachten:

$$\begin{eqnarray} Z=\sum_{\nu,u}\prod_{m,n}\sqrt{\frac{\pi}{-\lambda_{m,n}^{(\nu,u)}}} \end{eqnarray}$$ Wo $\nu$Und $u$Werte unter nehmen $0$Und $1/2$verschiedene Randbedingungen definieren $$\begin{eqnarray} \phi(z+\omega_1)=\exp(i2\pi\nu)\phi(z), \\ \phi(z+\omega_2)=\exp(i2\pi u)\phi(z). \end{eqnarray}$$ $\lambda_{m,n}^{(\nu,u)}$s sind die Eigenwerte des Laplace-Operators $\triangledown_\mu\triangledown^\mu$mit $$\begin{eqnarray} \lambda_{m,n}^{(\nu,u)}=-\frac{4\pi^2[(m+\nu)-(n+u)\tau][(m+\nu)-(n+u)\bar\tau]}{L^2(\text{Im}\tau)^2}. \end{eqnarray}$$ Der Einfachheit halber können wir den Sektor betrachten, in dem $\nu=0$während $u=1/2$da es in diesem Abschnitt keine Nullmodi gibt, über die man sich Sorgen machen muss, und $m,n$kann jede ganze Zahl annehmen. Dann $$\begin{eqnarray} Z_{0,1/2}&=&\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}\sqrt{\frac{\pi}{-\lambda_{m,n}^{(0,1/2)}}}\\ &=&\sqrt{\frac{1}{\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}[m-(n+1/2)\tau][m-(n+1/2)\bar\tau]}} \end{eqnarray}$$ Wo $\prod_{n=-\infty}^\infty$a = 1 wird verwendet. Um den Nenner zu berechnen, kann man definieren $q=\exp(i2\pi\tau)$und dann $$\begin{eqnarray} &&\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}[m-(n+1/2)\tau][m-(n+1/2)\bar\tau]\\ &=&\prod_{n}\left\{\left[q^{-(n+1/2)/2}-q^{(n+1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\\ &=&\prod_{n\geq0}\left\{\left[q^{-(n+1/2)/2}-q^{(n+1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\prod_{n>0}\left\{\left[q^{-(n-1/2)/2}-q^{(n-1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\\ &=&\prod_{n>0}\left\{\left[q^{-(n-1/2)/2}-q^{(n-1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}^2\\ &=&(q\bar{q})^{-1/6}\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})^2(1-\bar{q}^{n-1/2})^2 \end{eqnarray}$$ was bedeutet $$\begin{eqnarray} Z_{0,1/2}=\frac{(q\bar{q})^{1/12}}{\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})(1-\bar{q}^{n-1/2})}. \end{eqnarray}$$ In der konventionellen Einführung in die konforme Feldtheorie, wie z. B. Gl.~(8.23) von „Applied Conformal Field Theory“ von P. Ginsparg, gibt es jedoch eine $\tau$-Abhängigkeit Phasendifferenz: $$\begin{eqnarray} \tilde{Z}_{0,1/2}=\frac{(q\bar{q})^{1/48}}{\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})(1-\bar{q}^{n-1/2})}. \end{eqnarray}$$ Ich kann die Existenz dieses kleinen, aber wesentlichen Unterschieds wirklich nicht verstehen. Ich merke, dass die Phasendifferenz ist $1/16$was seinen Ursprung in der Nullmodusänderung des Virasoro-Generators haben könnte $L_0$beim Verdrehen der Randbedingung, aber ich kann es quantitativ nicht sinnvoll erscheinen lassen.