Warum sind die Nambu-Goto-Aktion und die Polyakov-Aktion auf Quantenebene äquivalent?

Das Pfadintegral mit der Nambu-Goto-Quadratwurzel im Exponenten ist ein sehr komplexes Tier. Insbesondere in der Minkowski-Signatur gibt es keine völlig universelle Methode, um die Pfadintegrale mit solch allgemeinen Exponenten zu definieren oder zu berechnen.

Wenn Sie also aus solchen Pfadintegralen überhaupt einen Sinn machen wollen, müssen Sie sie auf eine Weise manipulieren, die analog zum Übergang von Nambu-Goto zu Polyakov ist. Die Tatsache, dass diese Übergänge klassisch oder algebraisch begründet sind, ist ein Grund zu sagen, dass Sie dem Nambu-Goto-Pfadintegral eine vernünftige Definition geben.

Wenn Sie hypothetisch unterschiedliche Werte der Nambu-Goto-Pfadintegrale (und der Green-Funktionen) hätten, könnten Sie immer noch versuchen, die Schritte durchzuführen, die Einführung der zusätzlichen$h_{ab}$Hilfsmetrik und die Transformationen, um die Polyakov-Form zu erhalten. Wenn es also einen anderen Wert des Nambu-Goto-Pfadintegrals gäbe, müsste es eine Möglichkeit geben, ihn auch in den Polyakov-Variablen zu sehen.

Aber das Polyakov-Pfadintegral ist viel besser erzogen (auch renormierbar, anomaliefrei in$D=26$usw.), insbesondere wenn Sie die World-Sheet-Metrik fixieren$h_{ab}$zu einem flachen oder ähnlich einfachen Ansatz. Das Polyakov-Pfadintegral ist ziemlich eindeutig und brav, weshalb daraus kein anderes vernünftiges Ergebnis hervorgehen kann, und aufgrund der Beziehung zur Nambu-Goto-Aktion kann es kein anderes sinnvolles geben Bedeutung des Nambu-Goto-Pfadintegrals.

Ich denke, anstatt zu fragen, ob zwei wohldefinierte Objekte gleich sind, ist die richtige Einstellung zu dieser Frage, zuzugeben, dass das Nambu-Goto-Pfadintegral (oder die darauf basierende Quantentheorie) a priori schlecht definiert ist, eine heuristische Inspiration , und wir versuchen, aus dieser heuristischen Inspiration heraus eine sinnvolle, wohldefinierte Quantentheorie zu konstruieren. Und der Übergang zum Polyakov-ähnlichen Kalkül ist nicht nur eine Option, sondern ein ziemlich unvermeidlicher Schritt beim Aufbau einer Quantentheorie, die auf der Nambu-Goto-Heuristik basiert.

I) Erinnern Sie sich, dass die Pfadintegralformulierung in (mindestens) zwei Versionen vorkommt: Lagrange und Hamilton. Es wird oft argumentiert, dass die Hamiltonsche Version grundlegender sei, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

II) Einerseits ergibt die Dirac-Bergmann-Analyse/singuläre Legendre-Transformation, dass die Nambu-Goto (NG) Hamiltonsche Lagrange-Dichte lautet

$${\cal L}_{NG,H} ~:=~ P\cdot \dot{X}-{\cal H}, \qquad {\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\},\tag{1}$$

mit zwei erstklassigen Einschränkungen

$$\chi_0~:=~P\cdot X^{\prime}~\approx~0, \qquad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~\approx~0,\tag{2}$$

siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Hier$\lambda^0$und$\lambda^1$sind Lagrange-Multiplikatoren für die Zwangsbedingungen erster Klasse (2).

III) Die ursprüngliche Nambu-Goto-Quadratwurzel-Lagrange-Dichte

$$\begin{align} {\cal L}_{NG}~:=~&-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \cr {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} ~=~(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0, \end{align}\tag{3}$$

wird durch Herausintegrieren der Variablen wieder erhalten$P$,$\lambda^0$und$\lambda^1$in der Nambu-Goto-Hamiltonian-Lagrange-Dichte (1), wenn wir die Variable einschränken

$$\lambda^1~>~0 \tag{4}$$

positiv sein. Die Ungleichung. (4) wird benötigt, um einen unphysikalischen negativen Quadratwurzelzweig auszuschließen. Beachten Sie, dass die Ungleichung. (4) impliziert, dass die entsprechende First-Class-Einschränkung$\chi_1$wird technisch gesehen nicht mit einer Dirac-Delta-Verteilung im Pfadintegral erzwungen.

IV) Andererseits lautet die Polyakov (P) De Donder-Weyl (DDW) Lagrange-Dichte

$$\begin{align}{\cal L}_{P,DDW}~=~&P^{\alpha} \cdot \partial_{\alpha}X +\frac{\gamma_{\alpha\beta}P^{\alpha}\cdot P^{\beta}}{2T_0\sqrt{-\gamma}} \cr ~=~& P^{\tau}\cdot \dot{X} +P^{\sigma}\cdot X^{\prime}+ \frac{(P^{\sigma} + \lambda^0 P^{\tau})^2}{2T_0 \lambda^1} - \frac{\lambda^1}{2T_0} (P^{\tau})^2, \end{align}\tag{5}$$

wo wir eine World-Sheet (WS)-Metrik eingeführt haben$\gamma_{\alpha\beta}$und Polymomente$P^{\alpha}=(P^{\tau};P^{\sigma})$. Siehe auch zB meine Phys.SE-Antwort hier .

V) In der zweiten Gleichheit von Gl. (5) haben wir zwei Hilfsvariablen definiert,$\lambda^0$und$\lambda^1$, folgendermaßen:

$$\begin{align} \lambda^0~=~&\frac{\gamma_{\tau\sigma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~-\frac{\gamma^{\tau\sigma}}{\gamma^{\tau\tau}}, \cr \lambda^1~=~&\frac{\sqrt{-\gamma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~ \frac{-1}{\sqrt{-\gamma}\gamma^{\tau\tau}}~\geq~0 \quad\Leftrightarrow\quad\gamma~:=~\det\left(\gamma_{\alpha\beta}\right)_{\alpha\beta}~=~-\left(\lambda^1\gamma_{\sigma\sigma}\right)^2~\leq~0 . \end{align} \tag{6}$$

Das Vorzeichen der Variablen$\lambda^1$positiv sein muss, um den kinetischen Term in der Polyakov-Lagrange-Dichte positiv definit zu machen. Siehe auch meine Phys.SE-Antwort hier für weitere Details.

Beachten Sie die drei WS-Metrikkomponenten$\gamma_{\tau\tau}$,$\gamma_{\tau\sigma}$, und$\gamma_{\sigma\sigma}$Geben Sie nur die Polyakov-De-Donder-Weyl-Lagrange-Dichte (5) über die beiden Kombinationen ein$\lambda^0$und$\lambda^1$! (Diese nette Tatsache hängt mit der Weyl-Symmetrie zusammen .)

VI) Um die Polyakov-Hamilton-Lagrange-Dichte zu erreichen${\cal L}_{P,H}$aus der Polyakov-De-Donder-Weyl-Lagrange-Dichte (5) sollten wir den Impuls variabel halten$P^{\tau}\equiv P$, und integrieren Sie die Hilfsvariable heraus$P^{\sigma}$. Es stellt sich heraus, dass die Polyakov-Hamilton-Lagrange-Dichte genau die Nambu-Goto-Hamilton-Lagrange-Dichte wird (1)! Beachten Sie, dass diese indirekte Schlussfolgerung stärker ist als die übliche Behauptung, dass die Polyakov-Saite und die Nambu-Goto-Saite dieselben klassischen EOMs auf der Hülle haben!

Insgesamt besteht der einzige verbleibende Unterschied im dritten Freiheitsgrad der WS-Metrik, der der Weyl-Symmetrie entspricht und deren Pfadintegralbeitrag naiv faktorisiert und damit entkoppelt. Eine sorgfältigere Analyse zeigt Regularisierungsprobleme sowohl für den Polyakov-String als auch für den Nambu-Goto-String, was möglicherweise zu einer konformen Anomalie führt . In einem flachen Zielraum (TS) verschwindet die konforme Anomalie bekanntermaßen nur in der kritischen Dimension$D=26$.

TL;DR: Abschließend, da die Hamiltonsche Lagrange-Dichte der Nambu-Goto-String und der Polyakov-String identisch sind, muss jedes Pfadintegral-Quantisierungsschema (das mit der Hamiltonschen Formulierung übereinstimmt) ebenfalls identisch sein.

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