Verwendungen für Aktionen aus der Lagrange-Mechanik

Ich kann mir zwei unmittelbare Anwendungen der Aktion vorstellen$S$sich in der allgemeinen Relativitätstheorie. Das erste zur Ableitung der Entropie eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs und das zweite zur Berechnung der Keimbildungsrate von Instantonen, die aufgrund von Tunnelprozessen aus einem falschen in ein wahres Vakuum entstehen.

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Bekenstein-Hawking-Entropie

Um die Entropie zu berechnen, verwenden wir einen halbklassischen Ansatz. Normalerweise definiert man eine Zustandssumme,

$$Z\sim \mathrm{tr} \, e^{-\beta H}$$

mit$\beta^{-1}=k_BT$, Wo$H$ist der Hamiltonoperator. Der Ansatz ist eher ad hoc , aber beachten Sie grob,

$$H = \int d^3x \, \mathcal{H} \sim \frac{1}{\beta}\int d^4x \, \mathcal{H} \sim \frac{1}{\beta}I_E$$

Wo$I_E$ist die euklidische Aktion , die für unseren Fall lautet:

$$I_E = \frac{1}{16\pi G}\int_M d^4x \, \sqrt{|g|} R + \frac{1}{8\pi G} \int_{\partial M} d^3x \, \sqrt{|h|} K$$

Dies ist die Einstein-Hilbert-Wirkung, ergänzt durch den Gibbons-Hawking-Term, um den Beitrag von der Grenze der Mannigfaltigkeit zu berücksichtigen. Für Einstein erwarten wir die Schwerkraft$Z$von klassischen Lösungen dominiert werden, d.h.

$$Z \sim \sum_{\mathrm{class \, solns}} e^{-\beta I_E}$$

Sowohl beim Kerr- als auch beim Schwarzschild-Schwarzen Loch verschwindet der Ricci-Skalar. Sie haben jedoch einen Grenzterm ungleich Null, der zur Partitionsfunktion beiträgt. Unsere Metrik lautet also:

$$ds^2 = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Wo$\tau$ist eine periodische Koordinate mit Periodizität$8\pi GM$. Vorübergehend verhängen wir eine Abschaltung$R >> GM$, und die Metrik an der Grenze ist einfach die Schwarzschild-Metrik ohne die$dr^2$Laufzeit, bewertet zum Stichtag,$R$. Die äußere Krümmung ergibt sich aus der Divergenz der Normalen,

$$K=\nabla_a n^a = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \sqrt{1-\frac{2GM}{r}} = -\frac{2}{r}\sqrt{1-\frac{2GM}{r}} - \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}}$$

bewertet bei$R$. Der Integrand der Aktion ist unabhängig von$\tau,\theta,\phi$, und die Integration ist trivial. Man erhält eine Abhängigkeit vom Cutoff,$R$, und um eine endliche Grenze als zu erhalten$R\to\infty$man subtrahiert die euklidische Wirkung des Minkowski-Raums mit derselben Grenze. Schließlich findet man,

$$I_E = \frac{1}{2}\beta M.$$

Einstecken in die Partitionsfunktion und Rechnen,

$$S = -\beta^2 \frac{\partial}{\partial \beta} \beta^{-1} \ln Z$$

findet man das Ergebnis$S = 4\pi G M^2$, oder in Bezug auf die Fläche,$A/4G$in natürlichen Einheiten.

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Blasenkeimbildung

Die zweite Anwendung ist die Blasennukleation, die zuerst von Coleman und de Luccia untersucht wurde. Die allgemeine Idee ist, dass man eine Feldtheorie hat, die ein echtes Vakuum und ein falsches Vakuum hat, aber der Potentialunterschied ist winzig. In jeder Region wird der Spannungs-Energie-Tensor anders sein und damit die Raumzeit-Geometrie. Coleman und de Luccia untersuchten Tunnelprozesse vom falschen Vakuum zum wahren Vakuum, die die Keimbildung eines Instantons oder einer Blase beinhalteten. In ihrer ursprünglichen Arbeit wurde die Lagrange-Funktion angegeben von:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial \phi)^2 - \frac{\lambda}{2}(\phi^2-\eta^2)^2 - \frac{\epsilon}{2\eta}(\phi-\eta)$$

Das klassische Vakuum$\phi = \eta$ist ein wahres Vakuum, aber$\phi=-\eta$ist nicht, obwohl der Unterschied ist$\epsilon$. Die Aktion kommt ins Bild, weil sie zur Bewertung der Rate verwendet werden kann,

$$\Gamma \propto e^{-I_B}$$

Wo$I_B$ist die Sprungaktion , die die für die Wand berechnete Aktion abzüglich der Aktion für den Raum innerhalb der Wand ist. Coleman und de Luccia stellten fest, dass, wenn man Gravitationseffekte mit einbezieht, diese die Nukleation der Blase stoppen können, da die Verzerrung der Geometrie der Raumzeit die Blase daran hindern kann, das richtige Verhältnis von Volumen zu Oberfläche zu erreichen, um sicherzustellen, dass die Nettoenergie Null ist.

Spätere Arbeiten von R. Gregory et al. über die Keimbildung solcher Instantonen in einem de Sitter-Schwarzschild-Raum zeigt, dass die Keimbildungsrate im Vergleich zum Coleman-Instanton etwas höher ist. Für eine detaillierte pädagogische Berechnung siehe Classical Solutions in Quantum Field Theory von Weinberg oder die Papiere:

• Schwarze Löcher als Keimbildungsstellen für Blasen , R. Gregory et al., [hep-th/1401.0017v1].
• Gravitationseffekte auf und vom Vakuumzerfall , S. Coleman, F. de Luccia, Phys. Rev. D 21 , 3305.