Funktionelles Feldintegral in der Feldtheorie der kondensierten Materie (Altland)

Dies ist die Aktion für das 1+1-dimensionale wechselwirkende Elektronensystem;

S C l [ θ , ϕ ] = 1 2 π ∫ D X D τ ( G − 1 v ( ∂ X θ ) 2 + G v ( ∂ X ϕ ) 2 + 2 ich ∂ τ θ ∂ X ϕ ) .

Ich möchte das Gaußsche Feld integrieren ϕ . Dieses Buch sagt, dass es nur eine "elementare" Gaußsche Integration ist. Also habe ich versucht, diese Aktion zu ändern.

S C l [ θ , ϕ ] = 1 2 π ∫ D X D τ ( G − 1 v ( ∂ X θ ) 2 + ( G v ∂ X ϕ + ich G v ∂ τ θ ) 2 + 1 G v ( ∂ τ θ ) 2 ) .

Für diese Aktion ist die Partitionsfunktion gegeben durch

∫ D θ D ϕ exp ⁡ [ − S C l ] .

Vielleicht bezieht sich der zweite Term in der Aktion auf das Gaußsche Integral. Aber ich weiß nicht, wie ich das berechnen soll.

Wie kann ich das berechnen?

Antworten (1)

OP hat den Platz bereits im zweiten Semester abgeschlossen

(1) ( G v ∂ X ϕ + ich G v ∂ τ θ ) 2   =   G v ( ∂ X ϕ + ich G v ∂ τ θ ) 2   =   G v ( ∂ X ( ϕ + ich G v ∂ τ Θ ) ) 2

der Aktion. Hier haben wir die Stammfunktion (auch bekannt als primitives oder unbestimmtes Integral) definiert.

(2) Θ ( X , T )   :=   ∫ 0 X D X '   θ ( X ' , T ) .

Damit ist die Gaußsche Integration vorbei ϕ entfernt den zweiten Term in der klassischen Aktion, selbst für eine imaginäre Verschiebung (1).

Quantenmechanisch erscheint auch ein multiplikativer Van-Vleck-Morette- Determinantenfaktor

(3) ( D e T ' ( − Δ ) ) − 1 2

vor dem verbleibenden Pfad ganzzahlig über θ . Hier Δ := ∂ X 2 . Die Primzahl in Gl. (3) gibt an, dass ein Nullmodus ausgeschlossen werden sollte.

Verweise:

  1. A. Altland und B. Simons, Condensed Matter Field Theory, 2010, p. 180-191.
Funktionelles Feldintegral in der Feldtheorie der kondensierten Materie (Altland)
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