Mehrere stationäre Punkte des Aktionsfunktionals

Es kann mehr als eine stationäre klassische Lösung für ein Wirkungsprinzip mit entsprechenden Randbedingungen geben. ZB wegen Instantonen oder Eichsymmetrie.

Beispiel: Ein rotierender starrer Körper mit Trägheitsmoment$I$. Die Aktion ist

$$\tag{1} S~=~\int_{t_i}^{t_f}\! dt ~L , \qquad L ~:=~\frac{I}{2}\dot{\theta}^2,$$ mit Dirichlet-Randbedingungen (BC) $$\tag{2} \theta(t_i)-\theta_i~\in~2\pi\mathbb{Z} \qquad\text{and}\qquad\theta(t_f)~-\theta_f\in~2\pi\mathbb{Z} .$$ Es ist möglich, die EOM zu erfüllen$\ddot{\theta}\approx 0$und BC (2) auf unendlich viele Arten, die einer unterschiedlichen Anzahl von Wicklungen entsprechen.

Instanton -Lösungen sind ein wichtiges Merkmal einer Quantenfeldtheorie. Andererseits werden Eichmehrdeutigkeiten typischerweise durch Eichfixierung beseitigt.

Betrachten Sie als Beispiel das reelle Skalarfeld mit Aktion,

$$S=\int \mathrm{d}^4 x \, \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right)$$

Das Prinzip der stationären Aktion besteht$\delta S = 0$, und die Felder, die dies zulassen, sind diejenigen, die die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllen, die einfach sind

$$(\square+m^2)\phi=0$$

Wie das OP feststellte, gibt es viele Lösungen für die Bewegungsgleichungen; das ist kein Problem. Für die Zwecke der kanonischen Quantisierung erweitern wir normalerweise das Feld als ebene Welle und heben die Fourier-Koeffizienten zu Operatoren auf usw. Eine Theorie kann andere Lösungen haben, und in vielen Fällen ist es interessant, diese zu untersuchen, vgl. Solitonen.