In welchem ​​Sinne ist die eigentliche/effektive Wirkung Γ[ϕc]Γ[ϕc]\Gamma[\phi_c] eine quantenkorrigierte klassische Wirkung S[ϕ]S[ϕ]S[\phi]?

Wir wollen das Wegintegral berechnen

$$Z = \int \mathcal{D}{\phi}\, e^{i \hbar^{-1} S[\phi]}$$ die eine Übergangsamplitude zwischen anfänglichen und endgültigen Quantenzuständen codiert.

Wenn wir die wirksame Aktion hätten$\Gamma[\phi]$zu unserer Verfügung hätten wir dasselbe Ergebnis berechnet, indem wir nach aufgelöst hätten

$$\phi_c(x):\quad \left. \frac{\delta \Gamma}{\delta \phi} \right|_{\phi=\phi_c} = 0$$ und wieder in die effektive Aktion stecken: $$Z = e^{i \hbar^{-1} \Gamma[\phi_c]}.$$

Dies ist die Definition von$\Gamma$.

Beachten Sie, dass an dieser Stelle keine Pfadintegrale erforderlich sind. In dieser Antwort sind implizit Randbedingungen vorhanden, die die genauen Zustände codieren, zwischen denen der Quantenübergang stattfindet. Ihre Existenz stellt sicher, dass es nur eine Lösung gibt$\phi_c$.

Nun zum Warum$\phi_c$heißt klassisch : es löst das durch die Aktion gegebene eom$\Gamma$.

Denk an$\Gamma$B. eines Objekts, bei dem alle kurzmaßstäblichen Eigenschaften des Integrationsmaßes vorhanden sind$\mathcal{D}\phi$(einschließlich renormalisierungsbezogener Probleme) sind bereits berücksichtigt. Sie lösen einfach das eom und stecken die Lösung in das Exponential und Sie sind fertig: Hier ist Ihre Übergangsamplitude.

Davon abgesehen,$\Gamma$ist nicht klassisch in dem Sinne, dass es noch die Dynamik einer Quantentheorie beschreibt. Nur auf eine andere Weise. Einfache algebraische Manipulationen statt Pfadintegrale.

Beachten Sie schließlich, dass, wenn das Pfadintegral Gaußsch ist,

$$\Gamma[\phi] = S[\phi] + \text{const},$$ Wo $\text{const}$berücksichtigt die Pfadintegral-Normierungskonstante. Es gibt keine Quantenkorrekturen.

In der klassischen Theorie lösen wir jedoch das eomwrt$\phi = \phi_c$für$S[\phi]$, nicht$\Gamma[\phi]$. Stecken Sie es wieder ein$S[\phi_c]$gibt uns die Hamilton-Funktion. Wenn das Pfadintegral Gaußsch ist, spielt es keine Rolle, ob wir verwenden$S$oder$\Gamma$, und die Potenzierung der Hamilton-Funktion gibt Ihnen die Übergangsamplitude. Wenn wir es jedoch mit einer Interaktionstheorie zu tun haben, wäre der richtige Weg, dies zu tun, die Verwendung$\Gamma$anstatt$S$. In diesem Sinne,$\Gamma$ist die quantenkorrigierte Version von$S$.

Und ja, es ist immer wahr (kann mit der Sattelpunkt-Approximationsformel gezeigt werden).

$$\Gamma[\phi] = S[\phi] + \mathcal{O}(\hbar).$$

Warum sollten wir nicht einfach verwenden$\Gamma[\phi]$die Quantentheorie zu definieren und zu vergessen$S[\phi]$alle zusammen? Weil$\Gamma$ist nicht lokal und enthält unendlich viele einstellbare Parameter . Diese können aus der Form bestimmt werden$S[\phi]$durch, nun ja, Quantisierung. Deshalb ist es so$S[\phi]$was die Theorie definiert, nicht$\Gamma$.$\Gamma$soll über Wegintegrale berechnet werden.

UPDATE: Es ist auch wichtig, das in naiver QFT zu verstehen$\Gamma$enthält Abweichungen, während$S$nicht. Die tatsächliche Situation ist jedoch umgekehrt. Es ist$S$das Divergenzen enthält (divergente bloße Kopplungen), die sich gegen die vom Pfadintegral kommenden Divergenzen aufheben und ein endliches (dh renormiertes)$\Gamma$. Das$\Gamma$endlich sein sollte, ist daran ersichtlich, wie wir es verwenden, um physikalische Eigenschaften zu berechnen: Wir lösen nur das eom und setzen das Ergebnis wieder ein$\Gamma$.

Eigentlich ist der springende Punkt der Renormalisierung zu machen$\Gamma$endlich und wohldefiniert, während nur eine endliche Anzahl von divergierenden Kopplungen in der bloßen Aktion eingestellt wird$S$.

Es gibt bereits eine gute Antwort von Solenodon Paradoxus. Hier liefern wir einen formalen Beweis (über die stationäre Phase/WKB-Näherung).

1. Um die Notation zu korrigieren, definieren wir die 1PI effektive/richtige Aktion

   $$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k, \tag{1}$$ als Legendre-Transformation des erzeugenden Funktionals$W_c[J]$für verbundene Diagramme. Wir nehmen an, dass die Legendre-Transformation regulär ist, also die Formel $$\begin{align} \phi_{\rm cl}^k~=~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} \cr \Updownarrow~& \cr J_k~=~&-\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k}\end{align} \tag{2}$$ ist invertierbar. Hier$J_k$sind die Quellen u$\phi_{\rm cl}^k$sind die sogenannten klassischen Felder. (Letztere Terminologie ist ein bisschen irreführend, da$\phi_{\rm cl}^k[J]$in Abhängigkeit von den Quellen$J_{\ell}$explizit abhängen könnte$\hbar$. Siehe auch Abschnitt 8 unten.)

2. Das Partitionsfunktion/Weg-Integral ist

   $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar} W_c[J]\right\}\cr ~=~&Z[J]\cr ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_k \phi^k\right)\right\} . \end{align}\tag{3}$$ Die erste Gleichheit in Gl. (3) ist das Linked-Cluster-Theorem , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

3. An dieser Stelle ist es üblich, einige elementare Tatsachen zu erwähnen. Die 1-Punkt-Funktion/das quantengemittelte Feld ist per Definition

   $$\begin{align} \langle \phi^k \rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~=~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta }{\delta J_k}\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i}\frac{\delta Z[J]}{\delta J_k}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~\stackrel{(2)}{=}~\phi_{\rm cl}^k. \end{align} \tag{4}$$

4. Die 2-Punkt-Funktion ist per Definition

   $$\begin{align} \langle \phi^k \phi^{\ell}\rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\phi^{\ell}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_m \phi^m\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}}~\cr \stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J_k} \left(Z[J]\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_{\ell}}\right)\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\frac{\hbar}{i} \frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}} + \langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J,\end{align} \tag{5}$$ dh die verbundene 2-Punkt-Funktion plus ein getrenntes Stück.

5. Kehren wir nun zur Frage von OP zurück. Durch formale inverse Fourier-Transformation des Pfadintegrals (3) erhalten wir

   $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{J}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k\right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k \delta J_{\ell}}\right)^{-1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \cr ~\stackrel{(8)}{=}~& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right)^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{6}$$ in der stationären Phase/WKB-Näherung $J_k=J_k[\phi_{\rm cl}]+\sqrt{\hbar}\eta_k$. In der letzten Gleichheit von Gl. (6), das haben wir verwendet $$\begin{align}\delta^k_{\ell} ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_m} \frac{\delta J^m[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}} \cr ~\stackrel{(2)}{=}~& -\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k\delta J_m} \frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}},\end{align} \tag{7}$$ dh

   $$\begin{align}&\text{The 2-pt functions }\cr & \frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_m} \text{ and } \frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr& \text{ are inverses of each other.} \end{align}\tag{8}$$

6. Wir gehen davon aus, dass die Aktion$S$hat keine explizite$\hbar$-Abhängigkeit. Die effektive Aktion$\Gamma[\phi_{\rm cl}]=\sum_{n=0}^{\infty}\Gamma_n[\phi_{\rm cl}]$wird ein$\hbar$/loop-expansion . Gl. (6) zeigt, dass die effektive Aktion

   $$\begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(6)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{9} \cr ~\stackrel{(9)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{10}\end{align}$$ stimmt der Aktion zu$S$bis hin zu Quantenkorrekturen. In Gl. (10) haben wir das Hessische definiert $$H_{k\ell}[\phi]~:=~ \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^k\delta\phi^{\ell}}. \tag{11}$$ (Der Quadratwurzelfaktor in Gleichung (6) trägt nur bei einer Schleife und darüber hinaus bei.)

   Mit anderen Worten, wir leiten das auf die nullte Ordnung ab$\hbar$/Baumdiagramme in der effektiven Aktion

   $$\text{Tree-level}:~~ \Gamma_0[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(9)}{=}~S[\phi_{\rm cl}] \tag{12}$$

   ist gleich der Handlung$S$selbst. In ähnlicher Weise leiten wir dies auf die erste Ordnung ab$\hbar$/One-Loop-Diagramme in der effektiven Aktion

   $$\text{1-loop}:~~ \Gamma_1[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(10)}{=}~\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \right) \tag{13}$$

   ist gleich einer funktionalen Determinante des Hessischen der Handlung$S$. Gl. (10), (12) & (13) beantworten die Frage von OP. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

7. An dieser Stelle ist es üblich, einige elementare Tatsachen zu erwähnen. Gegeben seien feste Quellen$J_k$. Aus$^1$

   $$\begin{align} \frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k} ~\stackrel{(2)}{=}~~&-J_k\cr ~\stackrel{\text{EL eqs.}}{\approx}& \frac{\delta S[\phi_0]}{\delta \phi^k} \cr ~=:~~&E_k[\phi_0], \end{align} \tag{14}$$ wir leiten daraus die sogenannte klassische Lösung ab$\phi_{\rm cl}^k$und die Euler-Lagrange (EL)-Lösung$\phi_0^k$zustimmen$^1$ $$\phi_{\rm cl}^k[J]~\stackrel{(9)+(14)}{\approx}~\phi_0^k[J] +{\cal O}(\hbar) \tag{15}$$ bis hin zu Quantenkorrekturen. Gl. (15) rechtfertigt die Aufrufpraxis$\phi_{\rm cl}^k$den klassischen Bereich. (Wir gehen davon aus, dass jede Lösung von Gleichung (14) aufgrund relevanter Randbedingungen eindeutig ist. Wir haben der Einfachheit halber Instantons ausgeschlossen.)

   Wenn wir umgekehrt a$\phi_{\rm cl}$, können wir die entsprechende verschobene Quelle betrachten

   $$\begin{align} J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]~:=~&E_k[\phi_{\rm cl}]+J_k[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{\delta S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} -\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}}\cr ~\stackrel{(12)}{=}~&-\frac{\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} ~=~{\cal O}(\hbar). \end{align}\tag{16}$$

8. Alternativ aus der Hintergrundfeldmethode

   $$\underbrace{\phi^k}_{\text{quan. field}} ~=~\overbrace{\underbrace{\phi^k_{\rm cl}}_{\text{clas. field}}}^{\text{backgr. field}}+\underbrace{\eta^k}_{\text{fluctuation}}, \tag{17}$$ die wirksame Aktion (1) wird $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}& \int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi] +J_k[\phi_{\rm cl}](\phi^k-\phi^k_{\rm cl}) \right) \right\} \cr ~\stackrel{(17)}{=}~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi_{\rm cl}+\eta] +J_k[\phi_{\rm cl}] \eta^k \right)\right\} \cr ~=~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left( S[\phi_{\rm cl}] +\underbrace{\left(E_k[\phi_{\rm cl}] +J_k[\phi_{\rm cl}]\right)}_{={\cal O}(\hbar)} \eta^k +\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \eta^{\ell} +{\cal O}(\eta^3) \right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}] \right)^{-1/2}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_{\rm cl}] -\frac{1}{2}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right)\right\} \cr ~\stackrel{(2)+(15)}{=}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{18}$$ in der stationären Phase/WKB-Näherung $$\eta^k~=~ -(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] + \underbrace{{\cal O}(\sqrt{\hbar})}_{\text{fluctuation}}.\tag{19}$$ Gl. (18) führt wieder auf die gesuchte Gl. (10).

9. Allgemeiner, wenn wir die Aktion trennen

   $$S[\phi]~=~ \underbrace{E_k[\phi_{\rm cl}]\eta^k}_{\text{linear part}} + \underbrace{\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\eta^{\ell}}_{\text{quadratic part}} +\underbrace{S_{\neq 12}[\phi_{\rm cl},\eta]}_{\text{the rest}}, \tag{20}$$ dann liest sich die wirksame Aktion auf alle Bestellungen $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2} \cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 12}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\} \cr &\exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\end{align}\tag{21}$$ nach Gaußscher Integration. Es folgt dem $$\begin{align}\frac{i}{\hbar}&\Gamma_{>1}[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(12)+(13)+(21)}{=}& \ln\left(\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 012}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\}\right. \cr &\left. \exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\right)\end{align}\tag{22}$$ ist die Summe aller verbundenen Diagramme aus Propagatoren$-(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]$; verschobene externe Quellen$J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]$; Und$\eta$-Eckpunkte mit$\geq 3$ $\eta$-Beine.

   Nach dem Auswechseln$J^{>0}_k[\phi_{\rm cl}]=-\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]/\delta \phi_{\rm cl}^k$auf der rechten Seite von Gl. (22) über die Beziehung (16), dann kann man zeigen, dass Gl. (22) wird zu einer Rekursionsrelation aller Ordnung für die effektive Aktion$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$.

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$^1$Der$\approx$Symbol bedeutet hier Gleichheit modulo der Euler-Lagrange(EL)-Gleichungen .

Offensichtlich,$\phi(x)$unterscheidet sich von$\phi_c(x)$. Ersteres ist ein klassisches Feld einer klassischen Feldtheorie, letzteres ist nur eine Größe, die in der Legendre-Transformation des erzeugenden Funktionals für zusammenhängende Green-Funktionen erscheint. Es kommt einfach vor, dass für klassische Aktionen, die als Störungen um quadratische Aktionen behandelt werden, die Gleichungen erfüllt werden$\phi_c(x)$stimmen mit denen überein$\phi(x)$in der klassischen Feldtheorie am Limit$\hbar\rightarrow 0$.

Bis auf den vielsagenden Namen gibt es auch keine quantenklassische Entsprechung:$\phi_c(x)$ist nicht der Erwartungswert des Feldes$\hat{\phi}(x)$bei Vorhandensein einer externen Quelle (ausgedrückt in Form von richtig definierten Wahrscheinlichkeiten). Als quasi-klassische Observable macht sie keinen Sinn.

Darüber hinaus ist die effektive Wirkung nicht lokal und erzeugt daher keine effektive quasi-klassische Dynamik. Die effektive Aktion ist nur ein Generator für Green-Funktionen, die für die Berechnung von S-Matrix-Elementen relevant sind.