Ist die Lagrange-Dichte in der Feldtheorie real?

Da die Lagrange-Funktion in der klassischen Mechanik der Energie entspricht, muss sie real sein. Aber ist das in der Quantenfeldtheorie der Fall? Ich meine, es sollte immer noch einer Art Energie entsprechen, aber was ist mit all dem " ich "s hier und da, wie im Dirac Lagrangian ich ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ und die Stromdichte J μ = ich e [ … ] (siehe zum Beispiel Griffiths)?

Eine andere Frage ist, wie kann es hermitesch sein, L = L † , wenn wir diese haben " ich "s? Würde ich nicht ein Minuszeichen bekommen, wenn ich den Interaktionsterm und den Dirac-Feldterm komplex konjugieren würde? Ich bin wirklich verwirrt und hoffe, dass jemand helfen kann

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Antworten (1)

In der Quantenfeldtheorie ist die Lagrange-Dichte ein Operator, keine Zahl. Es macht also keinen Sinn zu sagen, dass es real sein muss; "Real" ist ein Begriff, der sich auf Zahlen bezieht, nicht auf Operatoren.

Was stimmen muss, ist das L muss in allen physikalischen Zuständen reelle Erwartungswerte haben, und das bedeutet wiederum, dass es hermitesch sein muss (was Mathematiker selbstadjungiert nennen). Aber Hermitizität ist nicht nur eine Frage der Realität. Sie können außerdem andere nicht-hermitesche Faktoren haben ich . Insbesondere die Ableitung ∂ μ im Dirac Lagrangian ist antihermitesch, und so die Kombination ich ∂ μ als Ganzes ist hermitesch.

Danke für die Klarstellung :-) Könnten Sie erklären, was Sie hier mit Operator meinen? Ich dachte, es ist eine Funktion von Feldern und ihren Ableitungen. Wenn Sie Operator sagen, bedeutet dies meiner Meinung nach, dass er auf etwas einwirkt, aber worauf wirkt die Lagrange-Dichte in QFT?
Felder sind Operatoren in QFT. Und wenn Sie Operatoren kombinieren, erhalten Sie einen anderen Operator; Deshalb ist der Lagrange-Operator als Kombination aus Feldern und Ableitungsoperatoren selbst ein Operator. Die Operatoren wirken auf Zustände des Universums, wie beispielsweise den Vakuumzustand | 0 ⟩ , oder n-Teilchen-Zustände, die durch Anwenden der Feldoperatoren auf diesen Zustand erzeugt werden, z u | 0 ⟩ ist ein Zustand mit einem Up-Quark.
Ich sehe, das macht Sinn. Tut mir leid, wenn ich dumme Fragen stelle, aber ich habe noch nicht einmal angefangen, dieses Zeug offiziell zu studieren.
Lieber @David, ich würde meistens nicht zustimmen, dass die Lagrange-Funktion keine Zahl ist. Der einzige sinnvolle Quantenformalismus, der die Aktionen und Lagrange verwendet, ist der Feynman-Pfad-Integral-Ansatz, und bei diesem Ansatz handelt es sich um c-Zahl-bewertete Funktionen klassischer Observablen, die integriert werden. ... Außerdem ist L oft unwirklich, wenn wir uns mit Termen ungerader Ordnung im euklidischen Raum befassen (wie Chern-Simons usw.).
@Luboš Ich würde nicht sagen, dass der pfadintegrale Ansatz der einzig sinnvolle ist ... zumindest nicht in dem Sinne, dass alles so gemacht werden muss. Ja, die gesamte QFT geht am Ende auf Pfadintegrale zurück, aber in der Praxis verwenden wir bei der perturbativen QFT direkt operatorwertige Lagrange-Operatoren, und das scheint die Ebene zu sein, auf der die Frage gestellt wird.
@David, ich bin bei Lubos. Sie können eine Menge Operatoren aus dem "klassischen Lagrangian" konstruieren, weil die zweite Ableitung im Lagrangian-Formalismus das Feld im Laufe der Zeit so mischt, dass Sie einen Operator erstellen können, der den Lagrangian in Form von Feldvariablen darstellt. Wenn Sie die Legendäre Transformation anwenden, erhalten Sie den Hamilton, den Sie in Form von Operatoren und einem Term darstellen können P D Q / D T die mehrdeutig sind, weil die Diskretisierung der Zeit und die Zeitordnung von der vorliegenden Darstellung angenommen werden.
@DavidZ Können Sie erklären, warum die Lagrange-Dichte in der klassischen Feldtheorie real sein muss und in QFT einen realen Erwartungswert haben muss?
Ist die Lagrange-Dichte in der Feldtheorie real?
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