Realität der Aktion in QFT [Duplikat]

Die S-Matrix ist definiert durch$S_{\beta\alpha}=\langle\beta,{\rm out}|\alpha,{\rm in}\rangle$Wo$|\alpha,{\rm in}\rangle$ist der Heisenberg-Bildzustand so, dass wenn der Zustand gemessen wird$t\rightarrow -\infty$der auf dem Etikett angegebene Partikelgehalt$\alpha$wird beobachtet. Ebenso für den Staat$|\beta,{\rm out}\rangle$bei$t\rightarrow +\infty$. Diese In- und Out-Zustände sind Eigenzustände des vollständigen Hamilton-Operators; dh freier Teil + Interaktion.

Daraus folgt Unitarität, ohne die Struktur des Hamiltonoperators erwähnen zu müssen.

Anschließend können Sie einen Operator definieren$S$deren Matrixelemente zwischen Freiteilchen-Eigenzuständen S-Matrixelemente sind.

$S_{\beta\alpha}=\langle\beta|S|\alpha\rangle$Wo$|\alpha,\beta\rangle$sind Eigenzustände des freien Hamiltonoperators$H_0$.

Sie können dann weiter zeigen (Weinberg Vol.1, Ch.3), dass der S-Operator geschrieben werden kann als

$S=T{\rm exp}\left(-i\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}H_I(t)dt\right)$

wo$T$ist das zeitgeordnete Symbol. Aber diese gesamte Konstruktion beruht darauf, dass der Hamiltonian, der volle und der freie, hermitesch ist.

Auch seit$H_I(t)=e^{iH_0t}H_{int}e^{-iH_0t}$Wo$H_{int}$der Interaktionsteil des Hamiltonoperators ist, können wir sehen, dass wir beide haben müssen$H_0$Und$H_{int}$Hermitesch für$S$einheitlich sein (aber das ist weder hier noch dort, da Sie einen hermitischen Hamiltonian benötigen, um diese Formel für die S-Matrix überhaupt zu erhalten.)

Da ein hermitischer Hamilton-Operator einen hermiteschen Lagrange-Operator impliziert, der einen echten klassischen Lagrange-Operator impliziert, sehen wir, dass eine reelle Aktion für die Einheitlichkeit der S-Matrix notwendig ist.

BEARBEITEN: Eigentlich wäre ein nicht-hermitischer Hamiltonian aus einem anderen Grund wirklich schlecht - er würde zu einem nicht einheitlichen Zeitübersetzungsoperator führen.