Grundfrage zur S-Matrix, Unitarität und Effektivfeldtheorie

Stellen Sie sich vor, einige Partikel in einem Zustand zu streuen, der kollektiv mit bezeichnet wird ich zu einem Endzustand bezeichnen durch f . Die Streuamplitude, S-Matrix ist dann definiert durch: S f ich ≡ ⟨ f | e − ich H t | ich ⟩ . Wir trennen dann die S-Matrix in die Identität und einen anderen Teil als S f ich = δ f ich + ich T f ich . Das ist die Aussage der Einheitlichkeit S † S = 1 was das impliziert 2 ich m T = T † T was zum optischen Theorem und all dem führt.

In der Feldtheorie berechnen wir die Amplitude, wo wir gerade bleiben T zwischen zwei Staaten. Das heißt, wir berechnen normalerweise nur die Amplituden, bei denen etwas Interessantes passiert.

Beim Studium effektiver Feldtheorien sehe ich oft Aussagen über die Verletzung der Einheitlichkeit, die mich verwirren. Nehmen wir zum Beispiel eine einfache Skalarfeldtheorie mit einer abgeleiteten Wechselwirkung L = 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 + λ ( ∂ ϕ ) 4 / Λ 4 dann könnten wir rechnen 2 → 2 Streuung und wir würden so etwas finden M 2 → 2 ∼ λ k 4 / Λ 4 .

Ich habe gelesen und gehört, dass Leute das sagen k ≫ Λ , führt dies zu einer Verletzung der Einheitlichkeit. Ich gehe davon aus, dass dies eine Verletzung von bedeutet 2 ich m T = T † T . Warum ist das so? Sicherlich bricht die perturbative Expansion in diesem Regime zusammen, aber warum ist dies mit der Einheitlichkeit verbunden?

Wenn das obige Beispiel die Unitarität verletzt, was ist dann der Unterschied zwischen dem obigen und dem Fall einer normalen, nicht abgeleiteten Zahl? λ ϕ 4 Interaktion und mit λ ≫ 1 obiger Fall? Das Wichtigste scheint das zu sein M wird im abgeleiteten Beispiel sehr groß, aber dies würde auch in auftreten λ ϕ 4 und ich würde bezweifeln, dass diese letztere Theorie irgendwelche Verletzungen der Einheitlichkeit aufweist.

Wir könnten sagen, dass in der 2 Fällen können wir keine Störungsbehandlung vornehmen, da (zum Beispiel) die Wahrscheinlichkeitsamplitude einen Modul größer als eins haben könnte. Und dies würde gegen die Einheitlichkeit verstoßen.
Also, ich sehe das | M 2 → 2 | 2 = | T f ich | 2 größer als eins ist, aber ich sehe das nicht unbedingt 2 ich m T = T † T verletzt wird. Ist es offensichtlich, dass dies wahr ist?
Wie von Luboš Motl signalisiert, mit der Gleichung T † T = ich ( T − T † ) , ist "moralisch" äquivalent zu | z | 2 = 2 ich m ( z ) . Jetzt schreiben z = a + ich b , das gibt : a 2 + b 2 = 2 b , Also b > 0 . Die Gleichung konnte geschrieben werden ( a − b ) 2 + 2 b ( a − 1 ) = 0 , Also a < 1 . Die Gleichung könnte auch geschrieben werden a 2 = b ( 2 − b ) , Also b < 2 . Endlich haben wir | z | = a 2 + b 2 ≤ 5 . Also wenn T „hat“ „Werte“ „größer als“ 5 , gibt es einen Widerspruch.

Antworten (1)

Wie Trimok sagte, wird die Wahrscheinlichkeit der Streuung einiger schön fokussierter Pakete immer noch wie der Querschnitt und so weitergehen | M | 2 . Für Bosonen gibt es also keine energieabhängigen Zusatzfaktoren | M | 2 selbst kleiner als eine Zahl der Ordnung eins sein, damit die Wahrscheinlichkeit kleiner als eins bleibt.

Das hängt damit zusammen T † T = ich ( T − T † ) denn diese Gleichung impliziert auch Ungleichungen für die Streuamplituden. Die mathematische Essenz dieser Aussage ist, dass für eine komplexe Variable | z | 2 = ich m ( z ) hat nur Lösungen ist | z | kleiner als eine bestimmte Zahl der Ordnung eins ist (die Sie berechnen können). Für zu große Werte von | z | , wie eine Million, das ist klar | z | 2 ist weitaus größer als ich m ( z ) und die Gleichung kann nicht erfüllt werden. Die Ungleichheit das | z | kleiner sein muss als etwas ist daher moralisch gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit nie größer als eins ist und beide Aussagen lassen sich aus der Einheitlichkeit ableiten.

Deshalb impliziert die Streuamplitude von "zwei zu zwei" Bosonen, die mit der Energie der Bosonen wächst, ein zu schnelles Wachstum des Wirkungsquerschnitts, ein zu schnelles Wachstum der Wahrscheinlichkeit für einige Pakete, und das verletzt die Einheitlichkeitsbedingungen wegen des vorherigen Absatzes . Theorien mit abgeleiteten Wechselwirkungen brechen bei Energien zusammen, die sich nicht allzu sehr von der Higgs-Masse unterscheiden.

Aber selbst wenn Sie sich mit oberflächlich renormierbaren Wechselwirkungen befassen, sind einige Löschungen erforderlich, um die Einheitlichkeit zu bewahren. Tatsächlich kann der klassische elektroschwache Lagrange aus diesen Bedingungen der "Baumeinheitlichkeit" in Kombination mit den grundlegenden experimentellen Daten des Beta-Zerfalls abgeleitet werden, siehe

http://motls.blogspot.com/2012/07/why-there-had-to-be-higgs-boson.html?m=1

Ihr Argument, dass das Wachstum keine Rolle spielt, weil es nur wie ein großes ist λ ≫ 1 geht nicht weil λ ≫ 1 ist aus den gleichen Gründen nicht möglich. Eine dimensionslose Kopplung größer als eins impliziert, dass die Schleifenkorrekturen tatsächlich wichtiger sind als der "führende" Beitrag auf Baumebene. Es stellt sich heraus, dass die Theorie mit einer quartischen Wechselwirkung keine konsistente Definition für zulässt λ > λ 0 ∼ Ö ( 1 ) . Deshalb auch für einen geringen Wert von λ der durch die laufende Renormierung mit Energie wächst, stoßen wir schließlich auf den „Landauer Pol“, wo der Wert liegt λ wird zu stark (und schnell unendlich) und die Theorie wird schlecht definiert. (Die Situation ist anders für Eichtheorien, die für sehr große konsistent sein können g , aufgrund von S-Dualitäten etc.).

Ein zu großer Wert der Streuamplitude ist also immer ein Problem.

Danke für die Antwort. Also für die λ ϕ 4 Fall scheint es mir, dass Ihre Aussagen über die schlecht definierte Theorie nur auf Probleme in der Störungstheorie zurückzuführen sind und daher eher praktische als grundlegende Probleme sind, oder? Glauben Sie, dass es sogar im Prinzip unmöglich zu lösen ist λ ϕ 4 zum λ ≫ 1 ? Ich könnte mir vorstellen, dass die Leute eines Tages eine Methode finden würden, um es außerhalb der Störungstheorie zu lösen.
Wenn Sie eine Theorie nehmen, die asymptotisch frei ist, beispielsweise das Gross-Neveu-Modell, dann könnten Sie sich das auf ähnliche Weise unterhalb einer Energieskala vorstellen E die vorhandenen Kupplungen werden größer als eins. Würden Sie dann sagen, dass eine solche Theorie die Unitarität unterhalb der Energie verletzt? E ?
Lieber User, wie gesagt, die Theorie an λ ≫ 1 existiert gar nicht. Zu dieser Kopplung gibt es keine einheitliche Theorie. Diese Abwesenheit ist kein Artefakt der Störungstheorie, sondern eine exakte Tatsache. Es ist, als ob Sie nach 10 Meter großen Menschen fragen und vermuten, dass wir sie nicht sehen, nur weil wir keine ausreichend starke Brille für sie haben. Nein, man sollte seinen Augen trauen (Störungstheorie), die 10 Meter großen Menschen gibt es wirklich nicht.
Ihre Formulierung ist völlig falsch - es scheint, dass Sie die elementaren Worte, die ich sage, nicht ganz klar verstehen wollen, glaube ich. Es ist nicht so, dass wir die Theorie nicht „lösen“ können λ ≫ 1 . Die Quantentheorie existiert überhaupt nicht, also gibt es nichts zu lösen. Es ist wie ganze Primzahlen kleiner als − 5 . Es ist keine Frage der Technologie, wie man sie findet. Was auch immer Sie tun, Sie werden sie nicht finden. Im Gegenteil, Ihre Illusion, dass die Theorie für jedes Lambda existieren sollte, ist ein falsches Artefakt Ihrer störenden oder klassischen Argumentation!
Ok, und was ist mit dem Beispiel von Gross-Neveu?
Ich bin auch überrascht, dass man denken würde, dass Eichtheorien mit großen Kopplungen aufgrund von S-Dualitäten wohldefiniert sind, aber denken Sie das λ ϕ 4 (oder ähnliche Theorien, dies war nur als einfaches Beispiel gemeint) mit großer Kopplung nicht einmal im Prinzip gut definiert ist und dass es möglicherweise keine Dualität oder andere Technik geben kann, die die Gesundheit der Theorie demonstrieren würde.
Das Gross-Neveu-Modell ist eines in 1+1-Dimensionen, bei dem die Zählung völlig anders ist. Der Koeffizient des quartischen Terms hat eine Massendimension, sodass die Amplituden mit der Energie abnehmen , sodass sie bei keiner Energieskala unendlich werden. Bei der dimensionellen Kupplung ist es sinnlos zu fragen, ob die Kupplung zu groß oder zu klein ist - es kommt auf die Einheiten an. Der große Streuabschnitt liegt formal bei E ≪ g 2 außer dass bei diesen niedrigen Energien die Infraroteffekte echt sind und in diesem Fall eine QCD-ähnliche Begrenzung vorhanden ist, die die Streuung unphysikalisch macht.
Ich habe ausdrücklich geschrieben, dass die (insbesondere asymptotisch freien) 4D-Eichtheorien bei jeder Kopplung in Ordnung sind, in einigen Fällen ist das, was diese Theorien tun, explizit aus S-Dualitäten bekannt. Aber die skalare quartische Kopplung ist eine ganz andere Sache. Und nein, es kann keine Dualität geben, die die hypothetische Theorie des großen Lambda-Quartals auf eine andere ähnlich einfache, aber schwach gekoppelte QFT abbilden würde. Das ist wirklich nicht schwer zu demonstrieren. Die Eichfelder werden irgendwie für die S-Dualität benötigt - elektromagnetische Dualität F a b → ∗ F a b funktioniert zum Beispiel nur für Spin-One.
Grundfrage zur S-Matrix, Unitarität und Effektivfeldtheorie
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