Warum haben wir keinen Spin größer als 2?

Teilchen mit höherem Spin müssen an Erhaltungsströme gekoppelt werden, und in Quantenfeldtheorien gibt es keine Erhaltungsströme mit hohem Spin. Die einzigen konservierten Ströme sind Vektorströme, die mit internen Symmetrien verbunden sind, der Spannungsenergie-Tensorstrom, der Drehimpuls-Tensorstrom und der Spin-3/2-Superstrom für eine supersymmetrische Theorie.

Diese Begrenzung der Ströme beschränkt die Spins auf 0,1/2 (die nicht an Ströme gekoppelt werden müssen), Spin 1 (der an die Vektorströme gekoppelt sein muss), Spin 3/2 (der an a gekoppelt sein muss Suprastrom) und Spin 2 (der mit dem Spannungs-Energie-Tensor gekoppelt sein muss). Das Argument ist heuristisch, und ich glaube nicht, dass es sich auf die Ebene eines mathematischen Beweises erhebt, aber es ist plausibel genug, um ein guter Leitfaden zu sein.

Vorbereitungen: Alle möglichen Symmetrien der S-Matrix

Sie sollten das folgende Ergebnis von O'Raferteigh, Coleman und Mandula akzeptieren: Die kontinuierlichen Symmetrien der Partikel-S-Matrix sind unter der Annahme einer Massenlücke und einer Lorentz-Invarianz eine Lie-Gruppe interner Symmetrien plus die Lorentz-Gruppe. Dieser Satz ist angesichts seiner Annahmen wahr, aber diese Annahmen lassen eine Menge interessanter Physik aus:

• Coleman-Mandula gehen davon aus, dass die Symmetrie eine Symmetrie der S-Matrix ist, was bedeutet, dass sie nicht trivial auf einen Teilchenzustand einwirkt. Dies scheint harmlos, bis Sie erkennen, dass Sie eine Symmetrie haben können, die Teilchenzustände nicht berührt, sondern nur nicht trivial auf Objekte wie Saiten und Membranen wirkt. Solche Symmetrien wären nur für die Streuung von unendlich ausgedehnten unendlichen Energieobjekten relevant, also erscheinen sie nicht in der S-Matrix. Die Transformationen würden trivial, wenn sich diese Schichten zu einem lokalisierten Teilchen zusammenschließen. Wenn Sie sich das Argument von Coleman und Mandula ansehen (eine einfache Version wird in Argyres 'Notizen zur Supersymmetrie präsentiert, was den Geschmack vermittelt. Es gibt eine ausgezeichnete vollständige Präsentation in Weinbergs Quantenfeldtheorie-Buch, und der Originalartikel ist zugänglich und klar), es schreit fast danach, dass die Objekte, die unter der höheren Symmetrie aufgeladen sind, räumlich ausgedehnt werden. Wenn Sie grundlegende Objekte erweitert haben, ist es nicht mehr klar, dass Sie Feldtheorie betreiben. Wenn die ausgedehnten Objekte Solitonen in einer renormierbaren Feldtheorie sind, können Sie auf die Ultrakurzdistanzstreuung zoomen und die Ultraviolett-Fixpunkttheorie als die Feldtheorie betrachten, die Sie studieren, und dies reicht aus, um die meisten Beispiele zu verstehen. Aber die Extended-Object-Ausnahme ist die wichtigste und muss immer im Hinterkopf behalten werden. Sie können die Ultrakurzdistanzstreuung vergrößern und die Ultraviolett-Fixpunkttheorie als die Feldtheorie betrachten, die Sie studieren, und dies reicht aus, um die meisten Beispiele zu verstehen. Aber die Extended-Object-Ausnahme ist die wichtigste und muss immer im Hinterkopf behalten werden. Sie können die Ultrakurzdistanzstreuung vergrößern und die Ultraviolett-Fixpunkttheorie als die Feldtheorie betrachten, die Sie studieren, und dies reicht aus, um die meisten Beispiele zu verstehen. Aber die Extended-Object-Ausnahme ist die wichtigste und muss immer im Hinterkopf behalten werden.
• Coleman und Mandula gehen von einer Massenlücke aus. Die Standarderweiterung dieses Theorems auf den masselosen Fall erweitert nur die maximale Symmetrie von der Poincare-Gruppe auf die konforme Gruppe, damit der Raum-Zeit-Anteil größer werden kann. Aber Coleman und Madula verwenden Analytizitätseigenschaften, von denen ich nicht sicher bin, ob sie in einer konformen Theorie mit all den Verzweigungsschnitten verwendet werden können, die nicht durch Massenlücken kontrolliert werden. Das Ergebnis ist äußerst plausibel, aber ich bin mir nicht sicher, ob es noch streng richtig ist. Das ist eine Übung in Weinberg, die ich leider nicht gemacht habe.
• Coleman und Mandula ignorieren Supersymmetrien. Dies wird von Haag-Lopuszanski-Sohnius festgelegt, die den Coleman-Mandula-Satz verwenden, um zu argumentieren, dass die maximale Symmetriestruktur einer Quantenfeldtheorie eine superkonforme Gruppe plus interne Symmetrien ist und dass die Supersymmetrie auf dem Spannungs-Energie-Tensor schließen muss.

Was das Coleman-Mandula-Theorem in der Praxis bedeutet, ist, dass immer dann, wenn Sie in einer Quantenfeldtheorie einen konservierten Strom haben und dieser Strom nicht trivial auf Teilchen wirkt, er keine anderen Raum-Zeit-Indizes als den Vektorindex tragen darf, mit den einzigen Ausnahmen die geometrischen Ströme sind: ein Spinor-Supersymmetriestrom,$J^{\alpha\mu}$, der (Belinfante-symmetrische) Spannungs-Energie-Tensor$T^{\mu\nu}$, der (Belinfante) Drehimpulstensor$S^{\mu\nu\lambda} = x^{\mu} T^{\nu\lambda} - x^\nu T^{\mu\lambda}$, und manchmal der Dilatationsstrom$D^\mu = x^\mu T^\alpha_\alpha$und auch konforme und superkonforme Ströme.

Der Spin der konservierten Ströme wird durch die Darstellungstheorie gefunden --- antisymmetrische Indizes sind Spin 1, egal ob es 1 oder 2 gibt, also ist der Spin der internen Symmetrieströme 1 und des Spannungsenergietensors 2. Der andere geometrisch Tensoren, die vom Spannungsenergietensor abgeleitet sind, sind ebenfalls auf einen Spin von weniger als 2 beschränkt, wobei der Suprastrom einen Spin von 3/2 hat.

Was ist ein QFT?

Hier ist dies eine praktische Frage – für diese Diskussion ist eine Quantenfeldtheorie eine endliche Sammlung lokaler Felder, von denen jedes einer Darstellung der Poincare-Gruppe entspricht, mit einer lokalen Lagrange-Wechselwirkung, die sie miteinander koppelt. Außerdem wird angenommen, dass es einen ultravioletten Bereich gibt, in dem alle Massen irrelevant sind und in dem alle Kopplungen noch relativ klein sind, so dass ein störender Teilchenaustausch in Ordnung ist. Ich sage Pseudo-Grenze, weil dies kein echter ultravioletter Fixpunkt ist, der möglicherweise nicht existiert, und keine Renormalisierbarkeit erfordert, sondern nur Einheitlichkeit in dem Regime, in dem die Theorie immer noch störend ist.

Jedes Teilchen muss mit etwas interagieren , um Teil der Theorie zu sein. Wenn Sie einen nicht interagierenden Sektor haben, werfen Sie ihn als unbeobachtbar weg. Die Theorie muss nicht renormierbar sein, aber sie muss unitär sein, so dass die Amplituden störungsmäßig unitarisieren müssen. Es wird angenommen, dass die Kopplungen auf einer kurzen Entfernungsskala schwach sind, sodass Sie auf kurze Entfernungen kein großes Durcheinander anrichten, aber Sie können die Partikelemission dennoch Reihenfolge für Reihenfolge analysieren

Die Froissart-Grenze für eine Massenlückentheorie besagt, dass die Streuamplitude nicht schneller wachsen kann als der Logarithmus der Energie. Dies bedeutet, dass ein schnelleres als konstantes Wachstum der Streuamplitude durch etwas aufgehoben werden muss.

Propagatoren für jeden Spin

Die Propagatoren für massive/masselose Teilchen eines beliebigen Spins folgen aus gruppentheoretischen Überlegungen. Diese Propagatoren haben die schematische Form

$$s^J\over s-m^2$$

Und die so wichtige s-Skalierung mit ihrer J-Abhängigkeit lässt sich aus der physikalisch offensichtlichen Winkelabhängigkeit der Streuamplitude extrahieren. Wenn Sie ein Spin-J-Teilchen mit kurzer Ausbreitungsdistanz (so dass die Masse unwichtig ist) zwischen zwei langen ebenen Wellen austauschen (so dass ihr Drehimpuls Null ist), erwarten Sie, dass die Streuamplitude so wird$\cos(\theta)^J$, eben weil Rotationen mit diesem Faktor auf die Helizität des ausgetauschten Teilchens einwirken.

Wenn Sie beispielsweise ein Elektron zwischen einem Elektron und einem Positron austauschen, wodurch zwei Photonen entstehen, und das innere Elektron einen mittleren Impuls k und eine Helizität + hat, dann drehen Sie den Beitrag zur Streuamplitude aus diesem Austausch um k- Achse um einen Winkel$\theta$Gegen den Uhrzeigersinn sollten Sie eine Phase von erhalten$\theta/2$in den ausgehenden Photonenphasen.

In Bezug auf Mandelstam-Variablen geht die Winkelamplitude wie folgt$(1-t)^J$, da t der Kosinus der Streuvariablen ist, bis auf eine gewisse Skalierung in s. Für große t wächst dies als t^J, aber "t" ist das "s" eines gekreuzten Kanals (bis zu einer kleinen Verschiebung), und wenn Sie also t und s kreuzen, erwarten Sie, dass das Wachstum mit der Leistung einhergeht der Winkelabhängigkeit. Der Nenner ist auf festgelegt$J=0$, und dieses Gesetz wird durch die Regge-Theorie bestimmt.

Also das für$J=0,1/2$, die Propagatoren schrumpfen bei großem Schwung, z$J=1$, die Streuamplituden sind in einigen Richtungen konstant, und z$J>1$Sie wachsen. Diese schematische Struktur wird natürlich durch die tatsächlichen Helizitätszustände kompliziert, die Sie an den Enden des Propagators anbringen, aber die schematische Form ist das, was Sie in Weinbergs Argumentation verwenden.

Spin 0, 1/2 sind OK

Dass Spin 0 und 1/2 ohne besondere Behandlung in Ordnung sind, und dieses Argument zeigt Ihnen warum: Der Propagator für Spin 0 ist es

$$1\over k^2 + m^2$$

Was im k-Raum bei großem k abfällt. Das bedeutet, dass Ihre Baumdiagramme schrumpfen, wenn Sie durch den Austausch von Skalaren streuen, sodass sie keine neuen Zustände benötigen, um die Theorie zu vereinheitlichen.

Spinoren haben einen Propagator

$$1\over \gamma\cdot k + m$$

Diese fällt auch bei großem k ab, aber nur linear. Der Austausch von Spinoren verschlimmert die Dinge nicht, da Spinorschleifen dazu neigen, die lineare Divergenz durch Symmetrie im k-Raum aufzuheben, wodurch logarithmische Divergenzen zurückbleiben, die symptomatisch für eine renormierbare Theorie sind.

Spinoren und Skalare können also interagieren, ohne die Substruktur preiszugeben, da ihre Propagatoren keine neuen Dinge für die Unitarisierung benötigen. Dies spiegelt sich in der Tatsache wider, dass sie selbst renormierbare Theorien aufstellen können.

Drehung 1

Wenn Sie Spin 1 einführen, erhalten Sie einen Propagator, der nicht herunterfällt. Der massive Propagator für Spin 1 ist

$${ g_{\mu\nu} - {k_\mu k_\nu\over m^2} \over k^2 + m^2 }$$

Der Zähler projiziert die Helizität senkrecht zu k, und der zweite Term ist problematisch. Es gibt Richtungen im k-Raum, wo der Propagator gar nicht abfällt! Das bedeutet, dass bei Streuung durch Spin-1-Austausch diese Richtungen bei hohen Energien zu einer Vergrößerung der Streuamplitude führen können, die irgendwie aufgehoben werden muss.

Wenn Sie die Divergenz mit höherem Spin aufheben, erhalten Sie dort eine Divergenz, und Sie müssen diese aufheben, und dann höheren Spin und so weiter, und Sie erhalten unendlich viele Partikeltypen. Die Annahme ist also, dass Sie diese Divergenz von Natur aus beseitigen müssen. Der Weg, dies zu tun, besteht darin, anzunehmen, dass die$k_\mu k_\nu$Begriff trifft immer einen erhaltenen Strom. Dann verschwindet sein Beitrag.

Das passiert in der massiven Elektrodynamik. In dieser Situation ist der Massive Propagator für die Renormierbarkeit immer noch in Ordnung, wie von Schwinger und Feynman angemerkt und von Stueckelberg erklärt. Das$k_\mu k_\nu$trifft immer a$J^\mu$, und im x-Raum ist es proportional zur Divergenz des Stroms, die Null ist, weil der Strom selbst bei einem massiven Photon erhalten bleibt (weil das Photon nicht geladen ist).

Das gleiche Argument funktioniert, um den kk-Teil des Propagators in Yang-Mills-Feldern zu töten, aber es ist viel komplizierter, weil das Yang-Mills-Feld selbst geladen ist, so dass das lokale Erhaltungsgesetz normalerweise anders ausgedrückt wird usw. usw. Die heuristische Lektion ist, dass Spin-1 nur in Ordnung ist, wenn Sie ein Erhaltungsgesetz haben, das den nicht schrumpfenden Teil des Zählers aufhebt. Dies erfordert die Yang-Mills-Theorie, und das Ergebnis ist auch mit der Renormierbarkeit kompatibel.

Wenn Sie ein Spin-1-Teilchen haben, das kein Yang-Mills-Feld ist, müssen Sie eine neue Struktur aufdecken, um seine Längskomponente zu unitarisieren, deren Propagator bei hohen Energien nicht richtig schrumpft.

Spin 3/2

In diesem Fall haben Sie ein Rarita-Schwinger-Feld, und der Propagator wird wie wachsen$\sqrt{s}$bei großen Energien, nur aus dem zuvor vorgestellten Mandelstam-Argument.

Das Ausbreitungswachstum führt zu einem unphysikalischen Wachstum beim Streuaustausch dieses Teilchens, es sei denn, das Spin-3/2-Feld ist mit einem konservierten Strom gekoppelt. Der konservierte Strom ist der Supersymmetriestrom nach dem Haag-Lopuszanski-Sohnius-Theorem, da er ein Spinor konservierter Ströme ist.

Dies bedeutet, dass das Spin-3/2-Teilchen mit einem Spin-3/2-konservierten Suprastrom interagieren sollte, um konsistent zu sein, und die Anzahl der Gravitinos ist (kleiner oder gleich) der Anzahl der Superladungen.

Die Gravitinos werden immer in einem Supermultiplet mit dem Graviton eingeführt, aber ich weiß nicht, ob es definitiv unmöglich ist, sie mit einem Spin-1-Partner einzuführen und sie trotzdem an den Superstrom zu koppeln. Diese Spin-3/2/Spin-1-Multipletts werden wahrscheinlich nicht renormierbar sein, abgesehen von einem Wunder der Supersymmetrie. Ich habe es nicht herausgefunden, aber es könnte möglich sein.

Spin 2

In diesem Fall haben Sie ein störendes Graviton-ähnliches Feld$h_{\mu\nu}$, und der Propagator enthält Terme, die linear mit s wachsen.

Um das Wachstum im Zähler aufzuheben, müssen Sie das Tensorteilchen an einen konservierten Strom koppeln, um die Teile mit zu schnellem Wachstum zu töten und eine Theorie zu erstellen, die keine neuen Teilchen für die Einheitlichkeit erfordert. Die Erhaltungsgröße muss ein Tensor sein$T_{\mu\nu}$. Nun kann man sich auf das Coleman-Mandula-Theorem berufen und schlussfolgern, dass der konservierte Tensorstrom der Spannungsenergietensor sein muss, und dies ergibt die allgemeine Relativitätstheorie, da der Spannungstensor auch die Spannung des h-Felds enthält.

Es gibt eine zweite Erhaltungsgröße des Tensors, den Drehimpulstensor$S_{\mu\nu\sigma}$, der auch Spin-2 ist (es sieht vielleicht aus wie sein Spin 3, ist aber auf zwei seiner Indizes antisymmetrisch). Sie können versuchen, ein Spin-2-Feld an den Drehimpulstensor zu koppeln. Um zu sehen, ob dies funktioniert, ist eine detaillierte Analyse erforderlich, die ich nicht durchgeführt habe, aber ich würde vermuten, dass das Ergebnis nur eine nicht dynamische Torsion sein wird, die an den lokalen Spin gekoppelt ist, wie es die Einstein-Cartan-Theorie erfordert.

Witten erwähnt noch eine weitere Möglichkeit für Spin 2 in Kapitel 1 von Green Schwarz und Witten, aber ich erinnere mich nicht, was es ist, und ich weiß nicht, ob es realisierbar ist.

Zusammenfassung

Ich glaube, dass diese Argumente auf Weinberg zurückzuführen sind, aber ich persönlich habe nur die skizzenhafte Zusammenfassung davon in den ersten Kapiteln von Green Schwarz und Witten gelesen. Sie scheinen mir nicht den Status eines Theorems zu haben, weil das Argument Partikel für Partikel ist, es erfordert einen unabhängigen Austausch in einem gegebenen Regime und schließt die Möglichkeit aus, dass die Einheitlichkeit durch eine Familie von Partikeln wiederhergestellt werden kann.

Natürlich gibt es in der Stringtheorie Felder mit beliebig hohem Spin, und die Einheitlichkeit wird wiederhergestellt, indem alle zusammen propagiert werden. Für Feldtheorien mit gebundenen Zuständen, die auf Regge-Trajektorien liegen, können Sie auch beliebig hohe Spins haben, solange Sie alle Trajektorienbeiträge zusammen betrachten, um die Einheitlichkeit wiederherzustellen (dies war eine der ursprünglichen Motivationen für die Regge-Theorie - höher zu unitarisieren Spintheorien).

Zum Beispiel haben wir in QCD Kerne mit hohem Grundzustandsspin. Es gibt also stabile S-Matrix-Zustände mit hohem Spin, aber sie treten in Familien mit anderen angeregten Zuständen derselben Kerne auf.

Die Schlussfolgerung hier ist, dass Sie, wenn Sie Teilchen mit höherem Spin haben, ziemlich sicher sein können, dass Sie neue Teilchen mit noch höherem Spin bei höheren Energien haben werden, und diese Kette von Teilchen wird nicht aufhören, bis Sie irgendwann eine neue Struktur offenbaren. Die bei der starken Wechselwirkung beobachteten Tensor-Mesonen bedeuten also, dass Sie eine unendliche Familie stark wechselwirkender Teilchen erwarten sollten, die erst dann versiegt, wenn die Unterstruktur des Quantenfelds aufgedeckt wird.

Einige Kommentare

James sagte:

• Es scheint, dass höhere Spinfelder masselos sein müssen, damit sie eine Eichsymmetrie und damit einen Strom haben, an den sie koppeln können
• Ein masseloses Spin-2-Teilchen kann nur ein Graviton sein.

Diese Aussagen sind so wahr wie die obigen Argumente überzeugend sind. Ab der Auslöschung, die der Propagator benötigt, um fühlbar zu werden, sind höhere Spinfelder auf kurze Distanz grundsätzlich masselos. Die Spin-1-Felder werden durch den Higgs-Mechanismus massiv, die Spin-3/2-Gravitinos werden durch spontanes SUSY-Brechen massiv, und dies beseitigt Goldstone-Bosonen/Goldstinos.

Aber all dieses Zeug ist bestenfalls nur auf der "leicht plausiblen" Argumentationsebene - das Argument betrifft die Unitarisierung von Propagatoren, wobei jeder Propagator separat keine Stornierungen hat. Es ist tatsächlich bemerkenswert, dass es als Richtlinie funktioniert und dass es nicht eine Menge supersymmetrischer Ausnahmen von Theorien mit höherem Spin gibt, bei denen die Supersymmetrie Propagator-Aufhebungen und Unitarisierung erzwingt. Vielleicht gibt es sie, und sie wurden nur noch nicht entdeckt. Vielleicht gibt es einen besseren Weg, das Argument zu formulieren, das zeigt, dass die Einheitlichkeit nicht durch die Verwendung von Partikeln mit positivem Spektralgewicht wiederhergestellt werden kann.

Großer Riss in den 1960er Jahren

fragt Jakob

• Warum wurde in der Geschichte der Stringtheorie nicht früher darauf hingewiesen?

Die Geschichte der Physik kann nicht gut verstanden werden, ohne den unglaublichen Antagonismus zwischen dem S-Matrix-Lager von Chew/Mandelstam/Gribov und dem Feldtheorie-Lager von Weinberg/Glashow/Polyakov zu würdigen. Die beiden Seiten hassten sich, stellten sich nicht ein und lasen sich nicht, zumindest nicht im Westen. Die einzigen Menschen, die beide Lager überspannten, waren ältere Leute und Russen – Gell-Mann mehr als Landau (der glaubte, dass der Landau-Pol eine S-Matrix implizierte), Gribov und Migdal mehr als jeder andere im Westen außer Gell-Mann und Wilson . Wilson hat zum Beispiel in S-Matrix-Theorie promoviert, ebenso wie David Gross (unter Chew).

In den 1970er Jahren starb die S-Matrix-Theorie einfach. Alle Praktiker sprangen 1974 mit dem Triple-Whammy der Wilsonschen Feldtheorie, der Entdeckung des Charm-Quarks und der asymptotischen Freiheit schnell von Bord. Diese Ergebnisse töteten die S-Matrix-Theorie für dreißig Jahre. Zu denjenigen, die von Bord gegangen sind, gehören alle ursprünglichen Stringtheoretiker, die weiterhin beschäftigt waren: insbesondere Veneziano, der davon überzeugt war, dass die Eichtheorie richtig war, als t'Hooft zeigte, dass große N-Eichfelder die topologische Erweiterung des Strings ergeben, und Susskind, der dies nicht erwähnte Regge-Theorie nach den frühen 1970er Jahren. Alle hörten auf, Stringtheorie zu studieren, außer Scherk und Schwarz, und Schwarz wurde von Gell-Mann geschützt, sonst wäre er nie angestellt und finanziert worden.

Diese traurige Geschichte bedeutet, dass heute kein einziger S-Matrix-Theoriekurs im Lehrplan unterrichtet wird, niemand studiert sie außer ein paar Theoretikern fortgeschrittenen Alters, die sich in Teilchenbeschleunigern verstecken, und die Haupt-S-Matrix-Theorie, die String-Theorie, nicht richtig erklärt und bleibt selbst den meisten Physikern völlig rätselhaft. Dafür gab es einige gute Gründe – einige S-Matrix-Leute sagten dumme Dinge über die Konsistenz der Quantenfeldtheorie – aber um fair zu sein, sagten die Leute der Quantenfeldtheorie ebenso dumme Dinge über die S-Matrix-Theorie.

Weinberg brachte diese heuristischen Argumente in den 1960er Jahren auf, die ihn davon überzeugten, dass die S-Matrix-Theorie eine Sackgasse sei, oder besser gesagt, dass sie ein tautologisches Synonym für die Quantenfeldtheorie sei. Weinberg wurde durch Modelle von Pion-Nukleon-Wechselwirkungen motiviert, die in den frühen 1960er Jahren ein heißes S-Matrix-Thema waren. Die Lösung des Problems sind die chiralen symmetriebrechenden Modelle des Pion-Kondensats, und dies sind effektive Feldtheorien.

Aufbauend auf diesem Ergebnis war Weinberg überzeugt, dass die einzige wirkliche Lösung für die S-Matrix eine Feldtheorie einiger Teilchen mit Spin war. Er sagt das immer noch hin und wieder, aber es ist völlig falsch . Die wohltätigste Interpretation ist, dass jede S-Matrix eine feldtheoretische Grenze hat, wo alle außer einer endlichen Anzahl von Teilchen entkoppeln, aber das ist auch nicht wahr (betrachten Sie die kleine Stringtheorie). Die Stringtheorie existiert, und es gibt nichtfeldtheoretische S-Matrizen, nämlich alle in der Stringtheorie, einschließlich der kleinen Stringtheorie in (5+1)d, die nicht gravitativ ist.

Lorentz-Indizes

James kommentiert:

• In Bezug auf den Spin habe ich versucht, den gruppentheoretischen Ansatz für einen antisymmetrischen Tensor zu verwenden, bin aber etwas verloren gegangen - enthält eine antisymmetrische 2-Form (zum Beispiel) nicht zwei Spin-1-Felder?

Die Gruppentheorie für einen antisymmetrischen Tensor ist einfach: Sie besteht aus einem „E“- und „B“-Körper, die in die reinen chiralen Darstellungen E+iB, E-iB umgewandelt werden können. Dies wurde manchmal auch als "Sechser-Vektor" bezeichnet, was bedeutet, dass E, B einen antisymmetrischen Vierer-Tensor bilden.

Sie können dies einfacher mit gepunkteten und undotierten Indizes tun, wenn Sie erkennen, dass die Darstellungstheorie von SU (2) am besten in Indizes ausgeführt wird - siehe das "Aufwärmproblem" in dieser Antwort: Mathematisch gesehen, was ist Farbladung?

Es gibt eine fabelhafte Erklärung in Schwartz QFT und dem Standardmodell, S. 153.

Das Fehlen masseloser Teilchen mit Spin > 2 ist eine Folge geringer Gruppeninvarianz und Ladungserhaltung.

Für masselose Teilchen kann man die weiche Grenze in den streuenden Matrixelementen nehmen

Die Lorentz-Invarianz impliziert, dass die Matrixnummern in verschiedenen Rahmen gleich sein sollten, aber die Polarisationen müssen sicherlich nicht gleich sein.

Schwartz zeigt schließlich auch, dass masselose Spin-2-Teilchen implizieren, dass die Gravitation universell ist.

Für masselosen Spin 3 landen wir bei

Die Summe von "Ladung mal Energie zum Quadrat" (für die Nullkomponente von 4 Impuls) der ankommenden Teilchen ist gleich dem Ausgang.

Dies ist eine Art Ladungserhaltung, nur dass wir auch mit der Summe der quadrierten Energie multiplizieren.

Diese Bedingung ist zu einschränkend, um irgendwohin zu gelangen, es sei denn, die Gebühren sind = 0.

Es sollte beachtet werden, dass Spin > 2 MASSIVE Teilchen existieren.

Grundsätzlich gilt für masselose Teilchen:

1. Spin 1 => Ladungserhaltung
2. Spin 2 => Gravitation ist universell (die ein- und ausgehenden Ladungen sind für alle Teilchen in der Wechselwirkung gleich
3. Spin 3 => Gebühren = 0

Dieses Argument wurde bereits in den 60er Jahren von Weinberg entdeckt und es ist einfach unglaublich.