Positivität von Residuen und Einheitlichkeit der Streuamplituden

Siehe QFT von Weiberg, Bd. I, Abschnitt 10.3, die Gleichung unten 10.3.6. Die Notation ein wenig aufräumen und die moderne Normalisierung von Spinoren zusammen mit der meist minusmetrischen Konvention verwenden, ist der Propagatorpol für ein allgemeines Feld

$$\Delta_{\ell\ell'}(p)=\frac{|Z|^2}{p^2-m^2+i\epsilon} M_{\ell\ell'} \tag{1}$$ Wo $M$ist die übliche Projektionsmatrix, $$M_{\ell\ell'}=\sum_\sigma u_\ell(p,\sigma)u^*_{\ell'}(p,\sigma) \tag{2}$$

Ausgehend von der Tatsache, dass Polarisationsvektoren immer orthogonal zueinander sind (d. h.$u^\dagger v=0$), wir sehen das

$$Mv=0 \tag{3}$$

Andererseits nutzt man die Tatsache, dass$u^\dagger u=|u|^2>0$, wir sehen das

$$Mu=|u|^2u \tag{4}$$

Daher als die$u,v$Polarisationsvektoren sind eine Basis, das sehen wir$M\ge 0$ist eine nicht negative Matrix (ihre Eigenwerte sind entweder Null oder positiv).

Aber es verbirgt sich eine Feinheit$|u|^2>0$: die Polarisationsvektoren

$$u(p)\equiv \langle 0|\psi(0)|p\rangle \tag{5}$$ positive Norm haben, wenn und nur wenn $|p\rangle$hat eine positive Norm. Dasselbe gilt für die Polarisationsvektoren von Antiteilchen, definiert als $$v(p)\equiv \langle \bar p|\psi(0)|0\rangle \tag{6}$$ wobei der Balken Antiteilchen (entgegengesetzte Ladung) anzeigt. Die Objekte $u,v$sind die üblichen Polarisationsvektoren, die man in die äußeren Linien der Streuamplituden einbezieht (im Fall von Spin $j=1$Teilchen ist die übliche Schreibweise $\varepsilon^\mu$, aber es ist das gleiche Konzept).

Daher der Rest des Propagators$M$ist nur dann nichtnegativ, wenn der physikalische Sektor eine positive Norm hat, dh wenn die asymptotischen Zustände vorliegen$|p\rangle$positive Norm haben. Wenn du eine Amtsleitung mit hast$|u|^2<0$, dann die Matrix$M$wird unbestimmt (es ist nicht länger nichtnegativ).

Beachten Sie, dass es in Eichtheorien auch unphysikalische Zustände gibt, aber diese sollten niemals auf externen Linien erscheinen. Diese Zustände dürfen eine negative Norm haben. Zum Beispiel beim Schleudern$j=1$Teilchen, die Polarisationsvektoren sind raumartig, aber die Längszustände$\varepsilon^\mu=p^\mu$sind zeitähnlich. Aber wenn wir verwenden$\varepsilon^\mu=p^\mu$auf einer externen Leitung ist die Amplitude Null (durch die Ward-Identität).

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Bemerkung: die Polarisationsvektoren$u,v$sind nur eine Grundlage für den physikalischen Hilbertraum. Geister sind orthogonal zum Physischen$u,v$, und sie haben eine negative Norm,$u^\ell u_\ell^*<0$. Betrachten Sie als Beispiel noch einmal die Längspolarisationen für den Spin$j=1$Teilchen: Die physikalischen Polarisationsvektoren sind raumartig, während die Längspolarisation zeitartig ist. Zusammen überspannen diese vier Vektoren$\mathbb R^4$, während die physikalischen Polarisationen nur raumartige Vektoren erzeugen.