Symmetrische transversale spurlose Tensoren vom Rang sss und (s,0,0,..,0)(s,0,0,..,0)(s,0,0,..,0) Darstellungen von SO(n) Sohn Sohn)

Es gibt eine verwandte Frage physical.stackexchange.com/q/75321 alles wird im zweiten Kapitel von Weinbergs QFT beantwortet. Leider ist Weinberg auf 4d beschränkt, was etwas Besonderes ist, und er ist kein Mathematiker, daher gibt es dort kein Wort mit dem höchsten Gewicht. Wenn Sie eine allgemeinere Behandlung benötigen, lesen Sie bitte das pädagogische Papier arxiv.org/abs/hep-th/0611263

Kurz gesagt, man muss die Darstellungstheorie der Symmetriegruppe einer gegebenen Raumzeit kennen und dann versuchen, sie auf dem Lösungsraum irgendeiner PDE zu realisieren. Anscheinend muss PDE genügend G-invariante Bedingungen auferlegen, um auf eine irreduzible Darstellung zu projizieren. Quer, spurlos, symmetrisch und nicht zu vergessen$(\square-m^2)$. Tatsächlich muss es nicht symmetrisch sein, es kann jeder irreduzible Tensor der Lorentz-Algebra sein (symmetrisch und spurlos ist nur die einfachste Art eines irreduziblen Tensors).

Die Harmonik wird benötigt, da das Fourier-Integral deutlich zeigt, dass die Darstellung unendlich reduzierbar ist, es sei denn$(\square-m^2)$wird auferlegt. Vertreten$\phi$als$\int dp\, \psi(p) \exp ipx$und Poincare-Transformationen durchführen, sehen Sie diese Modi mit unterschiedlichen$p^2$nicht mischen, was bedeutet, dass ϕ(x) ein Kontinuum von Darstellungen ist, deshalb müssen wir beheben$p^2$durch Auferlegen$(\square-m^2)$. Spin ist nur das höchste Gewicht der kleinen Wigner-Gruppe,$so(d−2)$für masselose Felder u$so(d−1)$für massiv.$(s,0,...,0)$wird der Kürze halber Spin-s genannt (in 4d gibt es nur ein Gewicht). Zum Beispiel ist das Spektrum der Stringtheorie voll von massiven Feldern jeglichen Spins$(s1,s2,....)$. Die Harmonik fixiert den quadratischen Casimir$P_\mu P^\mu$der Poincare-Algebra, da wir eine irreduzible Darstellung wollen, muss der Kasimir eine feste Zahl sein.

Die allgemeine Theorie geht wie folgt. Lassen Sie uns eine schöne Raumzeit mit vielen Symmetrien haben, Minkowski$ISO(d-1,1)/SO(d-1,1)$, de Sitter$SO(d,1)/SO(d-1,1)$oder Anti-de-Sitter$SO(d-1,2)/SO(d-1,1)$. Man ist dann an einheitlichen irreduziblen Darstellungen der Raum-Zeit-Symmetriegruppe interessiert. Diese Darstellungen sind durch einige Zahlen, Gewichte gekennzeichnet. Wir mögen Darstellungen mit höchstem Gewicht, da die Energie eines Teilchens von unten begrenzt werden muss (dies ist bei de Sitter nicht möglich, deshalb versuchen die Leute immer noch zu verstehen, was QFT in de Sitter ist). Die niedrigste Energie hängt mit der Masse eines Teilchens zusammen. Die restlichen Gewichte werden als Spin eines Teilchens bezeichnet. Dann möchten wir Darstellungen als Lösungen zu bestimmten PDE's realisieren. Dies ist ein anderes Problem.

Wenn die Raumzeit wenige Symmetrien oder gar keine Symmetrien hat (generische Lösung der Einstein-Gleichungen), dann können wir nicht sagen, was Spin oder Masse ist. Eine Ausnahme ist, wenn die Raumzeit genügend asymptotische Symmetrien hat, zB asymptotisch flach ist. Wir wissen zum Beispiel, dass die über dem Minkowski-Raum linearisierte Gravitation ein masseloses Spin-Zwei-Feld beschreibt. Wenn die Schwerkraft über einen generischen Hintergrund linearisiert wird, beschreibt sie immer noch zwei (in$4d$) Freiheitsgrade ausbreiten, aber es gibt keine Symmetrien, die sagen, dass sie etwas mit Spin zwei entsprechen.

Was die Stringtheorie betrifft, können Sie einfach in jedem Lehrbuch nachschlagen. Die Leute diskutieren das Spektrum der Erregungen und finden dort einen masselosen Spin-Zwei, der ein Graviton und unendlich viele andere Felder ist, meist massereich. Diese riesigen Felder können in jedem gefunden werden$(s_1,s_2,...,s_3)$von$so(25)$wenn wir über bosonische Saiten sprechen, die in sind$26d$, daher beschäftigen wir uns mit$iso(25,1)$und die Wigners kleine Gruppe für massive Felder ist$so(25)$.