Eine Leseliste zum Aufbau des Spin-Statistik-Theorems

Der Wikipedia-Artikel über das Spin-Statistik-Theorem fasst es folgendermaßen zusammen:

In der Quantenmechanik bezieht das Spin-Statistik-Theorem den Spin eines Teilchens auf die Teilchenstatistik, der es gehorcht. Der Spin eines Teilchens ist sein intrinsischer Drehimpuls (d. h. der Beitrag zum Gesamtdrehimpuls, der nicht auf die Umlaufbewegung des Teilchens zurückzuführen ist). Alle Teilchen haben entweder ganzzahligen oder halbzahligen Spin (in Einheiten der reduzierten Planck-Konstante ħ).

Der Satz besagt:

  • Die Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen mit ganzzahligem Spin hat denselben Wert, wenn die Positionen zweier beliebiger Teilchen vertauscht werden. Teilchen mit austauschsymmetrischen Wellenfunktionen werden Bosonen genannt;
  • die Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen mit halbzahligem Spin ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Teilchen vertauscht werden. Teilchen mit unter Austausch antisymmetrischen Wellenfunktionen werden Fermionen genannt.

Mit anderen Worten, das Spin-Statistik-Theorem besagt, dass Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen sind, während Teilchen mit halbzahligem Spin Fermionen sind.

Frage. Was würden Sie als bestes Mittel empfehlen, um den Beweis des Spin-Statistik-Theorems zu verstehen? Anders ausgedrückt: Wenn Sie (zum Beispiel) die Beweisskizze für das Spin-Statistik-Theorem nehmen, das später auf derselben Wikipedia-Seite gegeben wird, und genügend Material hinzufügen wollten, um ein Lehrbuch zu erstellen, dessen einziger Zweck darin bestand, jemanden aufzunehmen Von einem Grundstudium der Physik im dritten oder vierten Studienjahr bis hin zum gründlichen Verständnis des Spin-Statistik-Theorems, welche Referenzen würden Sie verwenden, um das Material dieses Buches zu konkretisieren?

Kontext. Ich bin ein Forscher auf dem Gebiet der Quantenberechnung und komme aus der Informatik: Ich habe ein sehr solides Verständnis des grundlegenden mathematischen Rahmens der nichtrelativistischen QM und einiger spezieller Relativitätstheorie, wenn nicht aller anwendbaren Techniken. Ich habe sehr grundlegende Vertrautheit mit fermionischen und bosonischen Operatoralgebren als Algebren, die durch Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren erzeugt werden, die bestimmte Axiome erfüllen, obwohl ich selbst nicht viel Gelegenheit hatte, sie zu verwenden.

Ich gehe davon aus, dass das Verständnis des Beweises des Spin-Statistik-Theorems das Erlernen einer nicht trivialen Menge an physikalischem (und wahrscheinlich auch mathematischem) Hintergrund erfordert.

Irgendwelche Empfehlungen?

Bearbeitet, um hinzuzufügen: Wenn es ausreicht, die Quantenfeldtheorie zu lernen, empfehlen Sie bitte einen geeigneten Text als Antwort. Wenn Sie zum Beispiel ein gutes Buch über QFT kennen, das nicht viel Hintergrundwissen zu bestimmten Themen wie E&M voraussetzt und das definitiv alle Konzepte abdeckt, die für die auf der Wikipedia-Seite angegebene Beweisskizze relevant sind, und/oder selbst einen guten in sich geschlossenen Beweis des Satzes der Spin-Statistik hat – kurz gesagt, ein Buch, das mich von Schrödinger und Einstein bis zum Satz der Spin-Statistik führen kann – dann empfehlen Sie bitte das betreffende Buch als Antwort.

Sie werden sich auf jeden Fall mit Relativitätstheorie und QFT vertraut machen wollen, da dieses Theorem erfordert, dass sich die relevanten Teilchenoperatoren (genauer gesagt Felder) als Repräsentation der Poincaré-Gruppe transformieren. Insbesondere stehen Spin-1-Fermionen und Spin-1/2-Bosonen in der klassischen QM nichts im Wege. Außerdem erfordert der Satz aus gruppentheoretischen und topologischen Gründen eine Dimension größer als zwei. In zwei Dimensionen erhalten Sie Parastatistiken und alle anderen – ich denke, Sie sind mit dieser Tatsache vertraut, da sie für (topologisches) Quantencomputing sehr relevant ist.
Es gibt ein altes Buch namens PCT, Spin and Statistics, and All That von Streater und Wightman. Ich habe es selbst nicht gelesen, aber vor langer Zeit habe ich Gutes darüber gehört.
@Marek: Ich bin mit den meisten Inhalten der speziellen Relativitätstheorie vorübergehend vertraut, weiß aber, dass ich zur QFT übergehen muss (was für das Theorem direkt notwendig zu sein scheint, da es die Einstellung dafür ist). Ich interessiere mich in der Tat für den Spezialfall der 3+1-Dimension, obwohl die verwandten Konzepte für niedrigere Dimensionen auch interessant sind.
@Ted Bunn: Danke für die Referenz, ich werde dies unter allen anderen Antworten, die ich bekomme, in meine Untersuchungen aufnehmen.
Ist die Wikipedia-Seite nicht gut genug?
@Ron: Zitieren {mit Redaktion}: "Die Rotationsebene beinhaltet die Zeit {warum betrachten wir eine solche Rotation?}, und eine Rotation in einer Ebene, die die Zeit in der euklidischen Theorie beinhaltet, definiert eine CPT-Transformation in der Minkowski-Theorie {warum?} Wenn die Theorie durch ein Pfadintegral {im Gegensatz zu...?} beschrieben wird, führt eine CPT-Transformation Zustände zu ihren Konjugierten {wie kommt es?}, sodass die Korrelationsfunktion ⟨0|Rϕ(x)ϕ(−x )|0⟩ muss positiv definit bei x=0 sein durch [die Annahme, dass das Teilchen eine ‚echte Erregung‘ ist] {was ist die Entsprechung zwischen der Annahme und der Konsequenz?}...“ Und so weiter.
@ Niel --- fair genug. Hast du dir auch die Diskussionsseite angesehen? Der Grund dafür, dass die Rotationsebene „Zeit einschließt“ (dies ist heuristisch – Zeit und Raum sind im euklidischen Raum nicht unterscheidbar) besteht darin, eine CPT-Transformation in der Fortsetzung durchzuführen. Das CPT-Theorem könnte der Punkt sein, an dem Sie stecken bleiben. Die Beschreibung durch eine lokale Aktion in einem Pfadintegral steht im Gegensatz zu nichtlokalen Theorien, für die ich nicht weiß, ob Spin/Statistik gilt.
@Ted Bunn: Es ist ein gutes Buch, aber unglaublich knapp und seine Sprache ist veraltet. Ich würde es niemandem empfehlen, der mit dem Material noch nicht vertraut ist, obwohl es eine solide Referenz ist.

Antworten (1)

Ich habe die betreffende Wikipedia-Seite geschrieben, also fühle ich mich schlecht. Ich dachte, es sei klar.

Es gibt ein aktuelles Lehrbuch von Banks, das das Spin/Statistik-Theorem ziemlich gut abdeckt. Ich hoffe, es ist in Ordnung. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, dass es kein Buch zur Quantenfeldtheorie gibt, das die analytische Fortsetzung des euklidischen Raums behandelt, und das ist das Wesentliche.

Das wird, soweit ich weiß, jeder für sich selbst ausarbeiten. Das Problem ist, dass es sehr einfach ist zu sagen „i mal t überall dort einstecken, wo man t sieht“ und 90 % von allem richtig macht, ohne irgendetwas zu verstehen. Streater und Whitman tun es, das ist der größte Teil ihres Buches, aber sie sind zu förmlich, um verständlich zu sein. Schwinger ist zu lange her (und ideosynkratisch). Vielleicht ermöglicht Ihnen der statistische Abschnitt von Feynman und Hibbs (Pfadintegrale), wo sie das Pfadintegral tatsächlich in imaginärer Zeit neu ableiten, eine Extrapolation auf die allgemeinen bosonischen Felder.

Der fermionische Fall erfordert die euklidische Fortsetzung von Majorana-Spinoren, und dies war in jüngerer Zeit in der Literatur: http://arxiv.org/abs/hep-th/9608174 . Dieses Zeug steht in keinem der Lehrbücher, und ich kann leider auch keins davon guten Gewissens empfehlen.

Später bearbeiten: Wenn Sie nicht in den euklidischen Raum gehen möchten, sollten Sie alles hinter Feynman / Schwinger vermeiden. Der beste Weg ist dann vielleicht, Paulis Argumentation durchzuarbeiten: W. Pauli, Der Zusammenhang zwischen Spin und Statistik, Phys. Rev. 58, 716-722 (1940).

Die Erklärung auf Wikipedia sieht unkompliziert und klar geschrieben aus, ich verstehe nur keine der Argumente, auf die sie sich stützt, mangels Hintergrund. Deswegen frage ich natürlich. —— Analytische Fortsetzung ist also nicht dasselbe, was Mathematiker mit diesem Namen bezeichnen? Ist die Substitution 't → it' als Trick gedacht, um die nicht-euklidische Signatur des Minkowski-Raums zu erklären? Oder ist es das gleiche mathematische Gerät wie die 'Wick-Rotation', die verwendet wird, um zB Partitionsfunktionen im Hinblick auf die Entwicklung im Schrödinger-Stil unter einem Hamilton-Operator zu bewerten?
"Vielleicht erlaubt Ihnen der statistische Abschnitt von Feynman und Hibbs [...], auf die allgemeinen bosonischen Felder zu extrapolieren. Der fermionische Fall erfordert die euklidische Fortsetzung von Majorana-Spinoren, und dies war in jüngerer Zeit in der Literatur" - ich bin verwirrt : Hoffentlich müsste ich keine bosonischen und fermionischen Pfadintegrale ausarbeiten, um zu beweisen, dass bosonische und fermionische Teilchen die einzig möglichen sind. Oder dienen diese Beschreibungen dazu, zu verstehen, wie man die Pfadintegrale für diese Teilchentypen am besten auswertet, nachdem man entdeckt hat, dass sie die einzigen sind, um die man sich in 3+1 D Sorgen machen muss?
Das Spin-Statistik-Theorem beweist nicht, dass bosonische/fermionische Felder die einzig möglichen sind (obwohl es stark darauf hindeutet, dass jede andere Art von Feld in drei Dimensionen in eine dieser beiden Möglichkeiten umgewandelt werden könnte). Es besagt, dass die Statistik (Fermion/Boson) durch den Spin (Drehimpuls) bestimmt wird.
@Neil: Die analytische Fortsetzung ist genau die analytische Fortsetzung der Mathematiker für die Korrelationsfunktionen der Theorie. Das Problem ist, dass man das Pfadintegral selbst fortsetzen möchte, und das wird nicht von Mathematikern entwickelt. Der Schlüssel ist, zu erweitern exp ⁡ ( − t H ) alle komplexen Werte von t mit Realteil > 0 in einem Pfadintegral, und zeigen Sie, dass Sie eine Theorie haben, die auf einer halbkomplexisierten Raumzeit definiert ist, die nur der euklidische Raum ist, heuristisch, weil der Minkowski-Raum unter t-> it euklidisch wird.
Das Wikipedia-Zitat scheint ein Spin-Symmetrie-Theorem und kein Spin-Statistik-Theorem zu beschreiben
Eine Leseliste zum Aufbau des Spin-Statistik-Theorems
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