Erklärt die Fermi-Dirac-Statistik Antiteilchen?

Antiteilchen entstehen natürlich beim Studium der Dirac-Gleichung innerhalb der Quantenfeldtheorie. Denken Sie daran, dass wir ein Dirac-Spinorfeld als ebene Welle erweitern können, nämlich

$$\psi= \sum_{s=1}^2 \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{p}}} \left[ b^s_p u^s(p)e^{ipx}+c^{s\dagger}_p v^s(p)e^{-ipx}\right]$$

und ähnlich für das konjugierte Feld. Beachten Sie das Auftreten von zwei unterschiedlichen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ; aus diesen entstehen das Elektron und das Positron, das Antiteilchen.

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Der Dirac-Spinor verwandelt sich unter eine Darstellung der Doppelhülle$SL(2,\mathbb{C})$was eine reduzierbare Darstellung ist . Daher können wir eine Zerlegung oder einen Ansatz vorschlagen ,

$$\psi=u(p)e^{-ipx}$$

Wo$u(p)$ist ein Vierkomponenten-Dirac-Spinor, der in eine Reihe von Zweikomponenten-Spinoren zerlegt werden kann , die als Weyl-Spinoren bekannt sind (und mit einer Realitätsbedingung Majorana-Spinoren):

$$u(p)=\left( \begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\, \xi\\ \sqrt{p \cdot \sigma}\, \xi\\ \end{array} \right)$$

für$\xi^{\dagger}\xi=1$. Das Antiteilchen, ein Positron, entspricht einer negativen Frequenzlösung , nämlich

$$v(p)=\left( \begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\, \eta\\ \sqrt{p \cdot \sigma}\, \eta\\ \end{array} \right)$$

Wo$\psi=v(p)e^{+ipx}$stattdessen. Beachten Sie, dass beide Lösungen positive Energie haben , as

$$E=\int \mathrm{d}^3 x \, T^{00}=\int \mathrm{d}^3 x \, \bar{\psi}(m-\gamma^i \partial_i)\psi \geq 0$$

(Der obige Ausdruck wird erhalten, indem der Satz von Noether auf die Raumzeit-Translationssymmetrie angewendet wird, die den Energie-Impuls-Tensor hervorruft.)

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Sowohl das Elektron als auch das Positron sind Fermionen, gehorchen derselben Quantenfeldtheorie und erfüllen die Fermi-Dirac-Statistik, die - grob - vorschreibt, dass wir die Theorie unter Verwendung von Antikommutierungsbeziehungen anstelle von Kommutierungsbeziehungen quantisieren, sonst würden wir einen Hamilton-Operator erhalten, der von unten unbegrenzt ist.