Zeitumkehrsymmetrie und T^2 = -1

Ich bin Mathematiker und interessiere mich für abstrakte QFT. Ich versuche zu verstehen, warum wir unter bestimmten (allen?) Umständen haben müssen T 2 = − 1 statt T 2 = + 1 , wo T ist der Zeitumkehroperator. Ich verstehe aus dem Wikipedia-Artikel, dass es erforderlich ist, dass Energie positive Kräfte bleibt T durch einen anti-einheitlichen Operator repräsentiert werden. Aber ich sehe nicht, wie diese Kräfte T 2 = − 1 . (Oder vielleicht erzwingt es es nicht, es erlaubt es nur?)

Hier ist eine andere Version meiner Frage. Es gibt zwei verschiedene Doppelcover der Lie-Gruppe Ö ( n ) die sich auf das Bekannte beschränken S p ich n ( n ) → S Ö ( n ) Deckel auf S Ö ( n ) ; Sie heißen P ich n + ( n ) und P ich n − ( n ) . Wenn R ∈ Ö ( n ) ist eine Reflexion und R ~ ∈ P ich n ± ( n ) Abdeckungen R , dann R ~ 2 = ± 1 . Also das sagen T 2 = − 1 bedeutet, wir sind dabei P ich n − statt P ich n + . (Ich gehe hier von einer euklidischen Signatur aus.) Meine Frage (Version 2): Unter welchen Umständen müssen wir verwenden P ich n − statt P ich n + hier?

(Ich habe letzte Woche eine ähnliche Frage auf physical.stackexchange.com gepostet, aber es gab keine Antworten.)

BEARBEITEN: Dank des halbzahligen Drehhinweises in den Kommentaren unten konnte ich eine effektivere Websuche durchführen. Wenn ich das richtig verstehe, besagt Kramers Theorem, dass für geraddimensionale (halbzahliger Spin) Darstellungen der Spin-Gruppe T befriedigen muss T 2 = − 1 , während wir für die ungeraddimensionalen Darstellungen (ganzzahliger Spin) haben T 2 = 1 . Ich denke, an diesem Punkt wird es eine einfache Frage in der Darstellungstheorie: Gegeben eine irreduzible Darstellung von S p ich n ( n ) , können wir fragen, ob es möglich ist, es zu erweitern P ich n − ( n ) (oder P ich n + ( n ) ), so dass die angehobenen Reflexionen R ~ (z.B T ) wirken als anti-unitary-Operator.

T 2 = − 1 gilt nur für Zustände mit halbzahligem Spin.
Beachten Sie, dass die Unterschrift wichtig ist. Raumreflexionen entsprechen unitären Operatoren, während Zeitreflexionen anti-unitären Operatoren entsprechen
Das Kramersche Theorem und die Frage der antiunitären Zeitumkehrsymmetrien werden beide ausführlich im ersten Kapitel von Haake behandelt , für diejenigen, die daran interessiert sind, mehr über dieses Thema zu lesen.
mögliches Duplikat von Zeitumkehrsymmetrie und T^2 = -1

Antworten (2)

Es gibt zwei mögliche Antworten auf das Warum T 2 = − 1 :

a) Warum nicht. Die Gesamtphase eines Quantenzustands ist unphysikalisch. Eine Symmetrie kann also als projektive Darstellung realisiert werden. Hier kann T als projektive Darstellung der Zeitumkehr angesehen werden T p h j die befriedigen T p h j 2 = 1 .

b) Definieren wir die Zeitumkehrsymmetrie als reguläre Darstellung in einem Vielteilchensystem mit zu realisieren T 2 = 1 , können die Symmetrieoperationen, die auf fraktionierte Quasiteilchen wirken, projektiv realisiert werden, mit T q u a s ich 2 = − 1 .

Die Antwort für CPT-Transformationen liegt auf der Hand. Eine CPT-Transformation ist eine 180-Grad-Drehung in der euklidischen Theorie, also ist CPT, gefolgt von CPT, eine 360-Grad-Drehung, die Ihnen ein Minuszeichen für fermionische Zustände und ein Pluszeichen für bosonische Zustände gibt. Dies gilt für alle Lorentz-Invariantentheorien oder sogar Theorien, die die Lorentz-Invarianz spontan verletzen und eine CPT ungebrochen halten.

Der Fall, in dem Sie eine T-Symmetrie haben, kann aus dem Obigen verstanden werden. Es ist nicht immer wahr, dass die T-Symmetrie bei Bosonen quadratisch zu 1 und bei Fermionen -1 ist, es gilt nur für jene Fermionen und Bosonen, deren CP-Symmetrie nicht quadratisch zu -1 ist. Dies gilt für normale Realisierungen der CP-Symmetrie, aber nicht für ungewöhnliche Fälle, in denen eine Paritätssymmetrie verrückte Phasen haben kann, weil sie sich mit einer anderen diskreten Symmetrie der Theorie vermischt.

Beginnen Sie zum Beispiel mit Elektromagnetismus mit der üblichen Parität und betrachten Sie einen echten Pseudoskalar ϕ 3 , der zu einem Pseudoskalar gemacht werden kann, indem er mit einem paritätsinvarianten Fermion gekoppelt wird γ 5 , also gibt es einen Begriff in der Aktion.

ϕ 3 ψ ¯ γ 5 ψ

Betrachten Sie einen zweiten komplexen Skalar ϕ 1 verkuppelt mit ϕ 3 folgendermaßen:

( ϕ 1 2 ϕ 3 + ϕ ¯ 2 ϕ 3 )

Jetzt das Quadrat von ϕ 1 muss unter jeder hypothetischen Paritätstransformation ein Minuszeichen erhalten. Dies kann entweder durch Multiplizieren mit i oder durch Vertauschen von Real- und Imaginärteil arrangiert werden ϕ . Um letzteres auszuschließen, können Sie der Aktion einen Begriff hinzufügen, der ist

EIN ( ϕ 4 + ϕ ¯ 4 ) + ich B ( ϕ 4 − ϕ ¯ 4 )

Dies ist unter einer Paritätstransformation unveränderlich, aber nur durch Senden ϕ → ± ich ϕ . Das Paritätsquadrat ist -1, so dass der T-Operator auf diesem Feld steht ϕ Quadrate mit negativem Vorzeichen.

Diese Art von Dingen lässt sich leicht in nicht renormierbaren Theorien aushecken. Die obige Theorie zeigt, dass selbst die Renormalisierbarkeit diese Spielereien nicht ausschließt.

Zeitumkehrsymmetrie und T^2 = -1
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