Die Arbeiten von Ryu et al. sind nicht sehr gut geschrieben und enthalten einige wesentliche mathematische Fehler (z. B. ist die Klassifizierung in Bezug auf starke topologische Invarianten nicht dasselbe wie die Homotopie-Klassifizierung, es sei denn, Sie befinden sich in einer sehr niedrigen Dimension).

Pendelnde Symmetrien

Beginnen wir mit dem Satz von Wigner: Er besagt, dass Symmetrien von Quantensystemen diejenigen sind, die Übergangswahrscheinlichkeiten bewahren und daher über Unitäre oder Antiunitäre implementiert werden, die mit dem Hamilton-Operator kommutieren.

Alle pendelnden, einheitlichen Symmetrien müssen vor der Anwendung des Altland-Zirnbauer-Schemas reduziert werden . Dieser Schritt wird in der Literatur meist nicht explizit erwähnt, ist aber unerlässlich. Andernfalls haben Sie aufgrund der Wechselwirkung zwischen einheitlichen, pendelnden und anderen Symmetrien weit mehr als 10 verschiedene Klassen. Das prominenteste Beispiel sind hier kristallographische Symmetrien, für die es eine Klassifizierung gibt, die aber viel, viel komplizierter ist (Stand der Technik sind meines Wissens die Arbeiten von Shiozaki, Sato und Gomi ).

Antiunitäre, pendelnde Symmetrien sind die andere Option, die der Satz von Wigner zulässt. Wenn Sie außerdem davon ausgehen, dass sie quadratisch sind$\pm \mathbf{1}$, dann sind diese gerade ($+$) und ungerade ($-$) Zeitumkehrsymmetrien.

Antipendelnde Symmetrien

Wenn Sie sich nun in einem periodischen System befinden, geben Ihnen Pendelsymmetrien zusätzliche Informationen über Bloch-Funktionen, die einem festen Band bei potenziell unterschiedlichen Werten zugeordnet sind$k$Vektoren. Zeitumkehrsymmetrien drehen sich typischerweise um$k \mapsto -k$, und geben Ihnen daher eine Beziehung zwischen$\varphi_n(k)$Und$\varphi_n(-k)$.

Die nächste Komplikationsstufe sind Symmetrien, die zwei Bänder oder allgemeiner eine gerade Anzahl von Bändern miteinander in Beziehung setzen. Chirale und Teilchen-Loch-Symmetrien beziehen sich auf Bloch-Funktionen eines Bandes$E_n(k)$mit der seines symmetrischen Partners$E_{-n}(k) = - E_n(\pm k)$, dh sie tauschen Bands aus. Mathematisch bedeutet dies, dass sie mit dem Hamiltonian anti pendeln müssen . (Da diese außerhalb des Geltungsbereichs von Wigners Theorem liegen, nennen einige Autoren wie Zirnbauer diese Pseudosymmetrien , aber ich werde diese Unterscheidung nicht treffen.) Diese Arten von Symmetrien treten natürlich im Zusammenhang mit fundamentalen Gleichungen auf (z. B. die Dirac-Gleichung Sport a Partikel-Loch-Symmetrie) oder wenn Sie effektive Tight-Binding-Modelle in Betracht ziehen, nachdem Sie das Nullenergieniveau renormiert haben, um in die Mitte einer Bandkreuzung oder einer vermiedenen Bandkreuzung zu fallen.

Wie zuvor gibt es die antieinheitlichen, antikommutierenden Symmetrien, Partikel-Loch-Symmetrien, in zwei Geschmacksrichtungen, gerade und ungerade, je nachdem, ob sie quadratisch sind$\pm 1$. Chirale Symmetrien gibt es in einer einzigen Geschmacksrichtung für if$U^2 = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \vartheta} \, \mathbf{1}$, Dann$U' = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{\vartheta}{2}} U$Quadrate zu$+ \mathbf{1}$.

Der zehnfache Weg

Zusammenfassend gibt es vier Arten von Symmetrien, zwei Arten von Pendeln und zwei Arten von Anti-Pendeln-Symmetrien. Sie haben jedoch alle einheitlichen, pendelnden Symmetrien reduziert, sodass Sie drei Arten von Symmetrien haben. Die antiunitären Symmetrien gibt es in zwei Geschmacksrichtungen, gerade und ungerade. Sie haben also 1 Fall ohne Symmetrien (Klasse A), 5 Fälle mit einer Symmetrie (chiral, 2x TR, 2x PH) und$2 \times 2 = 4$Fälle von 3 Symmetrien (wenn Sie zwei Symmetrien haben, dann ist das Produkt automatisch das dritte). Insgesamt haben Sie$1 + 5 + 4 = 10$Fälle. Das ist der Zehnfache Weg.

Symmetrien höherer Ordnung

Sie könnten sich fragen, ob Sie kompliziertere Symmetrien in Betracht ziehen könnten, die „Bänder tauschen“ (denken Sie an einen Operator, der die Permutation eines Dreibandsystems implementiert, das 1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 1 abbildet). Absolut, und ich kenne einige Leute, die mit dieser Idee spielen. Aber AFAIK, dafür gibt es im Moment keine wirkliche Anwendung, und das bestehende Schema ist bereits kompliziert genug – besonders wenn Sie kristallographische Symmetrien in die Mischung aufnehmen.

Wechselwirkung mit kristallographischen Symmetrien

Lassen Sie mich Ihnen abschließend ein Beispiel dafür geben, wie die „Wechselwirkung“ zwischen Symmetrien zu neuen Phänomenen führen kann. Stellen Sie sich ein zweidimensionales periodisches System vor, das eine gerade Zeitumkehrsymmetrie und Parität besitzt. Wenn Sie die Parität außer Acht lassen, ist dieses System topologisch trivial (es ist von der Klasse AI und in$d = 2$es gibt nur eine Phase). Aufgrund der vorhandenen Parität können Sie Ihr System jedoch in gerade und ungerade Beiträge (Eigenzustände zu$\pm 1$des Paritätsoperators). Es gibt Fälle, in denen die Zeitumkehrsymmetrie blockiert istdiagonal bezüglich dieser Zerlegung, dh Zeitumkehr bildet gerade auf ungerade Funktionen ab und umgekehrt. Dies ist bei quasi-zweidimensionalen photonischen Kristallen mit Wabenstruktur der Fall (untersucht von Wu und Hu). Das bedeutet also, dass die Zeitumkehrsymmetrie auf dem geraden und ungeraden Unterraum gebrochen ist! Anders ausgedrückt, Sie können ein Klasse-KI-System in zwei Klasse-A-Subsysteme aufteilen, die „mit einem anderen konjugiert“ sind. Hier treten Kantenzustände paarweise auf, aber die Kantenzustände haben eine bestimmte Parität (gerade oder ungerade). Wenn Sie also in der Lage sind, beispielsweise Zustände mit gerader Parität selektiv anzuregen und nur Störungen einzuführen, die die Paritätssymmetrie bewahren, werden Ihre Kantenmoden topologisch geschützt. Die Chern-Zahl mit gerader Parität gibt Ihnen die Nettoanzahl von Randzuständen mit gerader Parität; die Chern-Zahl mit ungerader Parität muss notwendigerweise gleich groß sein, aber im Vergleich zu der Chern-Zahl mit gerader Parität ein entgegengesetztes Vorzeichen haben. Auf diese Weise summiert sich die gesamte Chern-Zahl des Systems zu 0, wie es sich für ein System der Klasse AI gehört.