Zeitumkehroperator und Rotationen

In Sakurais Modern Quantum Mechanics Kapitel 4 wird in der Diskussion über den Zeitumkehroperator die folgende Formel vorgestellt

$$\Theta \mathbf{J} \Theta^{-1} = -\mathbf{J}$$ Dies ist eine Voraussetzung, um die kanonischen Kommutierungsbeziehungen zwischen den Rotationsgeneratoren zu erhalten.

Wenn wir nun über Zeitumkehr in Spin-1/2-Systemen sprechen, haben wir den folgenden Eigenzustand von$\mathbf{S \cdot \hat{n}}$Operator

$$|\mathbf{\hat{n}},+ \rangle = \exp\left( -\frac{i}{\hbar}S_z \alpha \right) \exp\left( -\frac{i}{\hbar}S_y \beta \right) |+ \rangle$$ Wo $\alpha$Und $\beta$sind der Azimut- bzw. Polarwinkel und $|+\rangle$ist der Eigenzustand von $S_z$mit Eigenwert $\frac{\hbar}{2}$.

Betrachten wir nun die Wirkungsweise des Zeitumkehroperators$\Theta$für den obigen Zustand wird die folgende Gleichheit präsentiert

$$\Theta |\mathbf{\hat{n}},+ \rangle = \exp\left( -\frac{i}{\hbar}S_z \alpha \right) \exp\left( -\frac{i}{\hbar}S_y \beta \right) \Theta|+ \rangle$$ Meine Frage ist: Wie funktioniert die $\Theta$direkt handeln $|+\rangle$ohne auch zu beeinflussen $S_z$Und $S_y$so was? $$S_z \rightarrow -S_z$$ $$S_y \rightarrow -S_y$$ was aus der ersten Gleichung folgen sollte, die ich aufgeschrieben habe.