Schwierigkeiten beim Verständnis von Weinbergs Beweis des Wigner-Theorems

Sie haben Recht, dass Weinbergs Fußnote nicht dahingehend interpretiert werden kann, dass irgendeine Wahl von$C$, das den angegebenen Bedingungen entspricht, erfüllt garantiert Gleichung (2.A.17) – Sie haben ein gültiges Gegenbeispiel zu dieser Lesart konstruiert.

Die Fußnote ist vielmehr als kurze Skizze zu verstehen, wie ein geeigneter Zustand$\sum_k C_k\Psi_k$gefunden werden, wobei der Schwerpunkt hauptsächlich auf der Anzahl von liegt$C$'s, die nicht verschwinden und Teile der technischen Details für den Leser hinterlassen müssen. Vielleicht hilft etwas mehr Kontext, um die beabsichtigte Bedeutung zu verdeutlichen: In dem Satz direkt vor dem von Ihnen zitierten sagt Weinberg das

Wenn$A_m^*A_n$komplex ist, wählen Sie dann alle aus$C$'s abgesehen von verschwinden$C_m$Und$C_n$, und wählen Sie diese Koeffizienten so aus, dass sie unterschiedliche Phasen haben.

Wenn$A_m^*A_n$reell ist, jedoch benötigt man bereits vier Koeffizienten, um nicht verschwindend zu sein, um die Gleichungen (2.A.17)&(2.A.18) zu erfüllen:

Wenn$A_m^*A_n$real ist, wählen Sie dann alle aus$C$'s außer zu verschwinden$C_k, C_l, C_m$Und$C_n$, und wählen Sie diese vier Koeffizienten so aus, dass sie alle unterschiedliche Phasen haben.

Weinberg lässt tatsächlich die verbleibenden Details aus, wie man nicht generische Fälle (wie Ihr Gegenbeispiel) vermeidet, in denen die Gleichungen (2.A.17) und/oder (2.A.18) zufällig nicht erfüllt sind. Aufgrund der Freiheit bei der Wahl der unterschiedlichen Phasen und des Absolutwerts der vier nicht verschwindenden Koeffizienten gibt es unendlich viele Möglichkeiten, die nicht generischen Fälle zu vermeiden, weshalb Weinberg wahrscheinlich darauf verzichtet hat, einen bestimmten Weg anzugeben.