Generatoren einer bestimmten Symmetrie in der Quantenmechanik

In der Klassischen Mechanik verwenden wir zur Beschreibung von Symmetrien wie Translationen und Rotationen Diffeomorphismen auf der Konfigurationsmannigfaltigkeit. In der Quantenmechanik verwenden wir unitäre Operatoren im Zustandsraum. Wir erzwingen Einheitlichkeit, weil wir nicht wollen, dass die Wirkung der Symmetrie die Normalisierung der Zustände stört.

Beispiele dafür sind nun die Fälle von Translationen und Rotationen. Diese werden direkt in Bezug auf die klassischen definiert. Bei Drehungen, wenn$\mathcal{E}$ist der Zustandsraum eines spinlosen Teilchens in drei Dimensionen und wenn$R\in SO(3)$eine Rotation in drei Dimensionen ist, haben wir die Induktionsrotation$\hat{R}\in \mathcal{L}(\mathcal{E})$von

$$\langle \mathbf{r} | \hat{R}|\psi\rangle = \langle R^{-1}\mathbf{r}|\psi\rangle.$$

Nun wollen wir in der Klassischen Mechanik oft über die infinitesimale Version einer Symmetrie sprechen, die ihren Erzeuger kennt. In der Quantenmechanik ist die gleiche Idee ziemlich wichtig. Die Erzeuger von Rotationen sind zum Beispiel die Drehimpulsoperatoren.

Der springende Punkt bei Generatoren ist das

1. Sie können als infinitesimale Version einer Symmetrie interpretiert werden.
2. In Analogie zu Lie-Gruppen if$A$und wenn$\xi$ist sein Generator, den wir schreiben können sollten

$$A_\alpha = \exp(i\alpha \xi),$$

Wo$\alpha$ist ein Parameter, der das Ausmaß charakterisiert, in dem wir die Symmetrie anwenden. Die Generatoren der Operatoren$\xi$sind dann hermitesche Operatoren.

Dies sind Fakten, die ich auf völlig informelle und nicht strenge Weise kenne. Was ich will, ist die Idee von Generatoren einer Symmetrie im QM zu präzisieren.

Ein Problem, das wir bereits haben, ist, dass die Exponentialfunktion konvergieren könnte, da es Operatoren gibt, die unbeschränkt sind. Jedenfalls: Wie definieren wir die Erzeuger eines Operators genau, wie zeigen wir ihre Existenz und wie schreiben wir den Operator rigoros als Exponential in Bezug auf seine Erzeuger?