Warum wird die Zeitumkehr durch einen antilinearen und antiunitären Operator dargestellt? [Duplikat]

Operatoren, die sich auf physikalische Transformationen in der Quantenmechanik beziehen, sind normalerweise einheitlich und linear, mit Ausnahme der Zeitumkehr, die sowohl antieinheitlich als auch antilinear ist. Was ist die Erklärung für diesen Unterschied?

Beide Antworten gehen tatsächlich von restriktiveren Hypothesen aus (CCR- und Poincaré-Symmetrie). Meine Antwort unten ist etwas allgemeiner.

Antworten (1)

Die Aussage ist wahr, wenn das Spektrum des Hamilton-Operators nach unten begrenzt ist (aus thermodynamischen Gründen), aber nicht nach oben, wie es in vielen relevanten physikalischen Systemen der Fall ist. Hier ist der Beweis.

Der Zeitumkehroperator T erfüllt per definitionem

(1) T e ich H T = e − ich H T T
für jedes echte T und muss aufgrund des Satzes von Wigner entweder unitär oder anti-unitär sein. Die obige Identität impliziert, entsprechend der Natur von T ,
e ± ich T H T − 1 T = e − ich H T
für alle Realen T . Stone-Theorem liefert
(2) ∓ T H T − 1 = H .
Wenn der Operator einheitlich wäre, hätten wir es getan
T H T − 1 = − H .
Da einheitliche Transformationen das Spektrum erhalten, würde die gefundene Identität auch implizieren
σ ( H ) = − σ ( H )
das ist nicht erlaubt, da das von uns betrachtete Spektrum unter Vorzeichenwechsel durch Hypothese nicht symmetrisch ist.

Im Allgemeinen ist für Hamilton-Operatoren mit symmetrischem Spektrum eine unitäre Zeitumkehr möglich. Da sie jedoch ein unten begrenztes Spektrum haben müssen, ist es für Hamilton-Operatoren mit symmetrischem und begrenztem Spektrum möglich.

NACHTRAG. Wie von Elio Fabri bemerkt, da (reine) Zustände Einheitsvektoren sind ψ bis zu den Phasen ist (1) eine zu restriktive Bedingung und muss gelockert werden

(1') T e ich H T ψ = e ich C ψ ( T ) e − ich H T T ψ .
Es ist nicht schwer, dies unter Ausnutzung des Stone-Theorems zu beweisen C ψ ( T ) hängt nicht davon ab ψ und das C ( T ) = C T ist die einzige Möglichkeit für die Phase C ( T ) . Daher haben wir die Ableitung beider Seiten genommen
∓ T H T − 1 = − H + C ICH .
Wenn T ist einheitlich und σ ( H ) nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, haben wir einen Widerspruch σ ( H ) = − σ ( H ) + C . Die einzige Möglichkeit ist die T ist also antiunitär
σ ( H ) = σ ( H ) − C

Da müssen beide Seiten endlich sein inf , Wir schließen daraus C = 0 Und
T H T − 1 = H
und die Zeitumkehroperation genügt jedoch
T e ich H T = e − ich H T T .
Wenn T ist einheitlich, σ ( T ) befriedigen muss
σ ( H ) = − σ ( H ) + C
für einige C ∈ R . Also, wenn T ist einheitlich, σ ( H ) ist nach unten begrenzt, wenn und nur wenn es nach oben begrenzt ist und es in Bezug auf einen Punkt symmetrisch ist, was nicht unbedingt der Fall ist 0 .

Ich war mit Ihrem Theorem unzufrieden: unitär T impliziert begrenzt H und symmetrisch σ ( H ) . Ich habe mich gefragt, warum Symmetrie erforderlich ist, da ich einen Zusatz erwarten würde C ICH ( C real) ist immer erlaubt H in nr QM, ohne physische Veränderung. Jetzt glaube ich verstanden zu haben: Ihre Definition von T sollte entspannt sein T exp ⁡ ( ich H T ) = e ich C T exp ⁡ ( − ich H T ) T .
Ja, so kann man die Anforderung lockern. Tatsächlich betrifft eine korrektere Art, den Satz zu formulieren, die Evolution im projektiven Raum, der beim Übergang zum Hilbert-Raum genau zu der Bedingung wird, die Sie geschrieben haben.
Mit dieser scheinbar schwächeren Anforderung haben Sie jedoch den Satz von Stone ± T H T − 1 = − H + C ICH . Wenn σ ( H ) ist nach unten, aber nicht nach oben begrenzt und T einheitlich ist, finden wir einen Widerspruch. So T muss uneinheitlich sein und die schriftliche Identität ist jedoch nur möglich, wenn C = 0 .
Eigentlich sollte man das auch beweisen C ( T ) hängt nicht von der Form ab ψ . Die wahre Anforderung ist T e ich H T ψ = χ ( T ) ( ψ ) e − ich H T T ψ für eine komplexe Einheitszahl χ ( ψ ) ( T ) . Darauf kommt es nicht an ψ hat den gleichen Beweis wie die analoge Eigenschaft im Beweis des Wigner-Theorems, wo die Phasen der (anti)unitären Operatoren, die Symmetrien darstellen, nicht von den Vektoren abhängen ...
Jetzt, T e ich H T ψ = χ ( T ) ( ψ ) e − ich H T T ψ impliziert, dass ⟨ ( e − ich H T T ) − 1 ψ | T e ich H T ϕ ⟩ = χ ( T ) ⟨ ψ | ϕ ⟩ . Aus dieser Identität sieht man das χ ( T ) ist differenzierbar.
Nächste, T ↦ χ ( T ) e − ich H T = e ± ich T H T − 1 T ist offenbar eine unitäre stark stetige Gruppe, so dass sie nach dem Stone-Theorem einen Generator zulässt. χ ( T ) e − ich H T = e − ich H ' T . Eine direkte Berechnung unter Verwendung der Tatsache, dass χ differenzierbar ist, beweist das H ' = H + C ICH für einige konstant C ∈ R so dass χ ( T ) = e ich C T . Ich hoffe, dies hilft, das Verfahren @Elio Fabri zu verstehen. Die Bemerkung ist wichtig , weil sie auch damit zusammenhängt, dass in der nichtrelativistischen Theorie H ist jedoch bis auf additive Konstanten und definiert C darf so ins Bild kommen...
(Entschuldigung, die Identität, die ich oben geschrieben habe, ist nicht korrekt, die richtige ist offensichtlich ⟨ e − ich H T T ψ | T e ich H T ϕ ⟩ = χ ( T ) ⟨ ψ | ϕ ⟩ oder dasselbe, wo die linke Seite unter komplexer Konjugation erscheint, wenn T ist antieinheitlich ...
Warum wird die Zeitumkehr durch einen antilinearen und antiunitären Operator dargestellt? [Duplikat]
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