Zeitumkehr- und antilineare Operatoren

Question

Zeitumkehr- und antilineare Operatoren

Noam Chai

Ich kämpfe, um diese Frage zu lösen. Kann mir bitte jemand helfen?

Betrachten wir ein generisches quantenmechanisches System, das vom Hamilton-Operator beherrscht wird $\ H(t)$ .

Im Folgenden bezeichnen wir den Evolutionsoperator mit $\ u(t, t_0)$ . Somit, $\ |Ψ(t)> = u(t, t_0)|Ψ_0>$ erfüllt die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, wobei $\ |Ψ_0>$ stellt die Wellenfunktion bei dar $\ t = t_0$ .

(a) Beweisen Sie die Unitaritätsbedingung $\ u^† (t, t_0)u(t, t_0) = u(t, t_0)u^†(t, t0) = I$ .

(b) Nehmen wir nun an, dass das untersuchte System eine Symmetrie aufweist, die durch einen antilinearen (und antiunitären) Operator repräsentiert wird $U$ das hat nichts mit der Zeitumkehr zu tun. Zeigen Sie das in diesem Fall $\ [u(t, t0), U] = 0$ , und somit ist das System instabil, da sein Spektrum nach unten unbeschränkt ist.

(c) Zeigen Sie, dass die Instabilität verschwindet, wenn sie antilinear ist $U$ inklusive Zeitumkehr.

Die Schlussfolgerung aus (b) und (c) ist, dass Symmetrien, die durch antilineare Operatoren dargestellt werden, möglich sind, aber notwendigerweise eine Zeitumkehr beinhalten.

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Hinweis: H ist hermitesch. Nehmen

t_{0} = 0

${t_0} =0$ . Auch:

u (t) = e^{\frac{i H t}{h}}

$u(t)=e^{\frac{iHt}{h}}$ .

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Zeitumkehr- und antilineare Operatoren

Hinweis: H ist hermitesch. Nehmen ${t_0} =0$ . Auch: $u(t)=e^{\frac{iHt}{h}}$ .

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Lasst uns machen $u(t)=e^{it}$ ( $H$ ist hermitesch)

Dann $u^\dagger u=e^{-it}e^{it}=e^{it}e^{-it}=u u^{\dagger}=1$

Lassen $e^{it}$ Und $U$ handeln $\phi$ :

(e^{ich T} U - U e^{ich T}) ϕ = (- e^{ich T} U + e^{- ich T} U) ϕ, oder (- e^{ich T} + e^{- ich T}) U ϕ .

$(e^{it} U-U e^{it})\phi=(-e^{it}U+ e^{-it}U)\phi,\quad \text{or}\quad (-e^{it}+e^{-it})U\phi.$

Jetzt $U\phi=-U\phi$ , So $(-e^{it}+ e^{-it})=-(-e^{it}+e^{-it})$ und deshalb $0$ , also gilt (b).

Wenn wir die Zeitumkehr einbeziehen $U$ , lassen $U e^{it}$ handeln $\phi(0)$ , was wird $-\phi(t)$ .

Probieren Sie es dort selbst aus.

$H$ spielt keine Rolle, weil es hermitesch ist. Und $\hbar$ ist eine Konstante.
Das hermitesch Konjugierte von $H$ ist H. Natürlich kann man es reinlassen, aber für das Endergebnis spielt es keine Rolle: $(-e^{iHt}+e^{-iHt})=-(-e^{iHt}+e^{-iHt})$ , was auch Null impliziert.
@AccidentalFourierTransform-Warum hast du deine beiden Kommentare gelöscht, in denen du mich gefragt hast, warum ich sie nicht genommen habe $H$ in Betracht ziehen $e^{it}$ Ausdruck?

Zeitumkehr- und antilineare Operatoren

Noam Chai

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