Darstellung des Produkts zweier Symmetrietransformationen im Hilbert-Raum

Question

Darstellung des Produkts zweier Symmetrietransformationen im Hilbert-Raum

Benutzer4235

Wir wissen durch den Satz von Wigner, dass die Darstellung einer Symmetrietransformation auf dem Hilbert-Raum entweder unitär und linear oder anti-unitär und anti-linear ist.

Lassen $T$ Und $S$ seien zwei Symmetrietransformationen. Lassen $U(T)$ Und $U(S)$ seien die Repräsentationen dieser Transformationen. Was können wir über Einheitlichkeit oder Anti-Einheitlichkeit von sagen $U(TS)$ wenn wir die Unitarität oder Anti-Unitarität von U(T) kennen und $U(S)$ ? Warum?

Sidiger Herr

Es scheint mir ziemlich einfach zu sein. Für einen anti-einheitlichen Operator

U

$U$ wir haben

(U ψ, U χ) = (ψ, χ)^{*}

$(U \psi, U \chi) = (\psi, \chi)^*$ . Dann für ein Produkt

U V

$U V$ von zwei unitären Operatoren haben wir

(U V ψ, U V χ) = (ψ, χ)

$(U V \psi, U V \chi) = (\psi, \chi)$ , was das Produkt bedeutet

U V

$U V$ ist einheitlich. Die anderen Fälle können ähnlich ausgearbeitet werden.

Benutzer4235

Aber U(TS) ist im Allgemeinen nicht gleich U(T)U(S). Wenn es so gewesen wäre, hätte Ihr Argument funktioniert.

Sidiger Herr

U (T S) = U (T) U (S)

$U(TS) = U(T)U(S)$ , das ist Teil der Definition einer Repräsentation. Hast du ein Gegenbeispiel wo das nicht stimmt?

QMechaniker

@Sidious Lord: Ja, zB projektive Darstellungen .

Sidiger Herr

@Qmechanic OK, aber wenn wir projektive Darstellungen haben, gehen wir nicht zur Abdeckgruppe über oder fügen zentrale Erweiterungen hinzu, so dass wir immer eine ehrliche Darstellung zu Gott haben? Ich dachte, es gibt keine Hindernisse dafür, dies in relevanten physikalischen Anwendungen zu tun, aber es würde mich interessieren, ob dies nicht wahr ist.

QMechaniker

@Sidious Lord: In meiner Interpretation der Frage von OP (v1) sollte das Wort Repräsentation , um so allgemein wie möglich zu sein, nicht unbedingt so verstanden werden, dass es eine Gruppenstruktur oder Gruppenrepräsentation (projektiv oder nicht) impliziert, vgl. meine Antwort.

Mischa

@Qmechanic Die Wortdarstellung in Mathematik bedeutet Isomorphismus zwischen einem Objekt und einem anderen. Wenn die Gruppenstruktur nicht erhalten bleibt, handelt es sich nicht um eine Repräsentation. Ich stimme zu, dass auch projektive Darstellungen berücksichtigt werden sollten, jedoch aufgrund einer etwas anderen Argumentation. Formal übrigens

U (T S) = U (T) U (S)

$U(TS)=U(T)U(S)$ gilt für projektive Darstellungen. Gleichheit in projektiven Räumen und die Art und Weise, wie sie normalerweise erklärt werden, mag verwirren, aber die Gruppenstruktur bleibt erhalten.

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Es scheint mir ziemlich einfach zu sein. Für einen anti-einheitlichen Operator $U$ wir haben $(U \psi, U \chi) = (\psi, \chi)^*$ . Dann für ein Produkt $U V$ von zwei unitären Operatoren haben wir $(U V \psi, U V \chi) = (\psi, \chi)$ , was das Produkt bedeutet $U V$ ist einheitlich. Die anderen Fälle können ähnlich ausgearbeitet werden.
Aber U(TS) ist im Allgemeinen nicht gleich U(T)U(S). Wenn es so gewesen wäre, hätte Ihr Argument funktioniert.
$U(TS) = U(T)U(S)$ , das ist Teil der Definition einer Repräsentation. Hast du ein Gegenbeispiel wo das nicht stimmt?
@Qmechanic OK, aber wenn wir projektive Darstellungen haben, gehen wir nicht zur Abdeckgruppe über oder fügen zentrale Erweiterungen hinzu, so dass wir immer eine ehrliche Darstellung zu Gott haben? Ich dachte, es gibt keine Hindernisse dafür, dies in relevanten physikalischen Anwendungen zu tun, aber es würde mich interessieren, ob dies nicht wahr ist.
@Sidious Lord: In meiner Interpretation der Frage von OP (v1) sollte das Wort Repräsentation , um so allgemein wie möglich zu sein, nicht unbedingt so verstanden werden, dass es eine Gruppenstruktur oder Gruppenrepräsentation (projektiv oder nicht) impliziert, vgl. meine Antwort.
@Qmechanic Die Wortdarstellung in Mathematik bedeutet Isomorphismus zwischen einem Objekt und einem anderen. Wenn die Gruppenstruktur nicht erhalten bleibt, handelt es sich nicht um eine Repräsentation. Ich stimme zu, dass auch projektive Darstellungen berücksichtigt werden sollten, jedoch aufgrund einer etwas anderen Argumentation. Formal übrigens $U(TS)=U(T)U(S)$ gilt für projektive Darstellungen. Gleichheit in projektiven Räumen und die Art und Weise, wie sie normalerweise erklärt werden, mag verwirren, aber die Gruppenstruktur bleibt erhalten.

QMechaniker · Answer 1

I) Der Satz von Wigner besagt, dass eine Symmetrieoperation $S: H \to H$ ist eine einheitliche oder anti-einheitliche $^{1}$ Operator $U(S)$ bis auf einen Phasenfaktor $\varphi(S,x)$ ,

S (X) = φ (S, X) \cdot U (S) (X), X \in H, φ (S, X) \in C, | φ (S, X) | = 1 .

$S(x)~=~ \varphi(S,x)\cdot U(S)(x), \qquad x~\in~H,\qquad \varphi(S,x)~\in~\mathbb{C} ,\qquad |\varphi(S,x)|~=~1 .$

In diesem Zusammenhang eine Symmetrieoperation $S$ ist per Definition eine surjektive (nicht unbedingt lineare!) Abbildung $S: H \to H$ so dass

| ⟨ S (X), S (j) ⟩ | = | ⟨ X, j ⟩ |, X, j \in H .

$|\langle S(x),S(y)\rangle|~=~|\langle x,y\rangle|,\qquad\qquad x,y~\in~H.$

Lassen Sie uns die Terminologie einer Symmetrieoperation einführen $S$ ist vom unitären (anti-unitären) Typ , wenn es einen unitären (anti-unitären) Typ gibt $U(S)$ , bzw.

Außerdem, wenn ${\rm dim}_{\mathbb{C}} H \geq 2$ , dann darf man das zeigen

$U(S)$ bis auf einen konstanten Phasenfaktor eindeutig ist, und
$S$ kann nicht sowohl ein Einheitliches als auch ein Antieinheitliches haben $U(S)$ . Mit anderen Worten, $S$ kann nicht sowohl einheitlicher als auch antieinheitlicher Art sein.

II) Aus der direkten Anwendung der Definitionen folgt, dass die Zusammensetzung $S \circ T$ von zwei Symmetrieoperationen $S$ Und $T$ ist wieder eine Symmetrieoperation, und es ist sogar möglich zu wählen

U (S \circ T) := U (S) \circ U (T) .

$U(S \circ T)~:=~U(S) \circ U(T).$ Endlich in dem Fall

{d i m}_{C} H \geq 2

${\rm dim}_{\mathbb{C}} H \geq 2$ ,

$S \circ T$ ist vom antieinheitlichen Typ, wenn genau einer von ihnen ist $S$ Und $T$ sind vom antieinheitlichen Typ, und
$S \circ T$ ist vom einheitlichen Typ, wenn null oder zwei von $S$ Und $T$ sind vom antieinheitlichen Typ.

Referenz:

V. Bargmann, Anmerkung zum Satz von Wigner über Symmetrieoperationen, J. Math. Phys. 5 (1964) 862. Hier ist ein Link zur pdf-Datei.

--

$^{1}$ Wir verwenden der Einfachheit halber eine Terminologie, bei der Linearität (Antilinearität) von $U(S)$ sind implizit durch die Definition von impliziert $U(S)$ einheitlich (anti-einheitlich) zu sein.

Weitere Literaturhinweise: 2. S. Weinberg, Quantum Theory of Fields, Bd. 1, No. 1; Anhang 2.A, p. 91. 3. arxiv.org/abs/0802.3624 . 4. arxiv.org/abs/0808.0779 . 5. arxiv.org/abs/1112.2133 .

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Quantenmechanik; Sakurai; Unendlich kleine Übersetzung