Existenz eines Adjunkten eines antilinearen Operators, Zeitumkehr

I) Zuallererst sollte man niemals die Dirac-Bra-Ket-Notation (in ihrer endgültigen Version, in der ein Operator nach rechts auf Kets und nach links auf Bras wirkt) verwenden, um die Definition von Adjungiertheit zu betrachten , da die Notation dafür entworfen wurde lassen die Eigenschaft der Adjungiertheit wie eine mathematische Trivialität aussehen, was sie nicht ist. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

II) Die Frage von OP (v1) über die Existenz der Adjungierten eines antilinearen Operators ist eine interessante mathematische Frage, die in Lehrbüchern selten behandelt wird, weil sie normalerweise damit beginnen, dass Operatoren existieren$\mathbb{C}$-linear.

III) Erinnern wir uns als nächstes an die mathematische Definition des Adjungierten eines linearen Operators. Es gebe einen Hilbert-Raum $H$über ein Feld $\mathbb{F}$, die im Prinzip reelle oder komplexe Zahlen sein können,$\mathbb{F}=\mathbb{R}$oder$\mathbb{F}=\mathbb{C}$. Natürlich in der Quantenmechanik,$\mathbb{F}=\mathbb{C}$. Im komplexen Fall verwenden wir die Standardkonvention der Physiker, dass inneres Produkt/sequilineare Form $\langle \cdot | \cdot \rangle$ist konjugiert$\mathbb{C}$-linear im ersten Eintrag und$\mathbb{C}$-linear im zweiten Eintrag.

Erinnern Sie sich an den Darstellungssatz von Riesz : Für jedes stetige$\mathbb{F}$-lineare Funktion$f: H \to \mathbb{F}$es existiert ein eindeutiger Vektor$u\in H$so dass

$$\tag{1} f(\cdot)~=~\langle u | \cdot \rangle.$$

Lassen$A:H\to H$eine kontinuierliche sein$^1$ $\mathbb{F}$-linearer Operator. Lassen$v\in H$ein Vektor sein. Betrachten Sie das Kontinuierliche$\mathbb{F}$-lineare Funktion

$$\tag{2} f(\cdot)~=~\langle v | A(\cdot) \rangle.$$

Der Wert$A^{\dagger}v\in H$des adjungierten Operators$A^{\dagger}$am Vektor$v\in H$ist per Definition der eindeutige Vektor$u\in H$, garantiert durch den Darstellungssatz von Riesz, so dass

$$\tag{3} f(\cdot)~=~\langle u | \cdot \rangle.$$

Mit anderen Worten,

$$\tag{4} \langle A^{\dagger}v | w \rangle~=~\langle u | w \rangle~=~f(w)=\langle v | Aw \rangle.$$

Es ist einfach zu überprüfen, dass der adjungierte Operator$A^{\dagger}:H\to H$so definiert wird ein$\mathbb{F}$-linearer Operator.

IV) Lassen Sie uns abschließend auf die Frage von OP zurückkommen und die Definition der Adjungierten eines antilinearen Operators betrachten. Die Definition stützt sich auf die komplexe Version des Darstellungssatzes von Riesz. Lassen$H$einen komplexen Hilbert-Raum erhalten und lassen$A:H\to H$ein antilinearer stetiger Operator sein. In diesem Fall sollten die obigen Gleichungen (2) und (4) durch ersetzt werden

$$\tag{2'} f(\cdot)~=~\overline{\langle v | A(\cdot) \rangle},$$

Und

$$\tag{4'} \langle A^{\dagger}v | w \rangle~=~\langle u | w \rangle~=~f(w)=\overline{\langle v | Aw \rangle},$$

bzw. Beachten Sie, dass$f$ist ein$\mathbb{C}$-lineare Funktion.

Es ist einfach zu überprüfen, dass der adjungierte Operator$A^{\dagger}:H\to H$so definiert wird ebenfalls ein antilinearer Operator.

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$^{1}$Wir werden in dieser Antwort Feinheiten mit diskontinuierlichen/unbegrenzten Operatoren , Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen usw. ignorieren.