Bra-Ket-Notation verstehen

Ein komplexer Hilbertraum$\mathcal{H}$ist nur ein Vektorraum vorbei$\mathbb{C}$ausgestattet mit einem (kompletten) Innenprodukt. Um Ihrer Intuition zu helfen, kann es nützlich sein, sich daran zu erinnern, dass jeder endlichdimensionale komplexe Hilbert-Raum isomorph zu ist$\mathbb{C}^n$für einige$n$.

Nun nehme an$\mathcal{H}$ist endlich mit der Dimension$n$. Wähle eine Basis und beschrifte ihre Elemente mit$1$,$\cdots$,$n$. Dann in Diracs Notationen$|n\rangle$ist ein Element Ihrer Basis (und allgemeiner ein Element von$\mathcal{H}$) während$n$ist nur ein Etikett. Ein generisches Element$|\psi\rangle$von$\mathcal{H}$kann geschrieben werden

In Diracs Notationen wird das Skalarprodukt mit bezeichnet$\langle \cdot | \cdot \rangle$, somit$\langle i | \psi\rangle$bezeichnet nur das Skalarprodukt von$|i\rangle$mit$|\psi\rangle$, nämlich$\alpha_i$. Allgemeiner, wenn$|\psi\rangle$Und$|\phi\rangle$bezeichnen zwei Elemente von$\mathcal{H}$mit$|\phi\rangle = \sum_i \beta_i |i\rangle$, Dann$\langle \psi|\phi\rangle$bezeichnet ihr inneres Produkt, nämlich$\sum_i \alpha_i^*\beta_i$.

Außerdem als Vektorraum$\mathcal{H}$hat auch einen Doppelraum$\mathcal{H}^{\dagger}$. Beachten Sie, dass$\mathcal{H}^{\dagger}$ist der Raum der linearen Abbildungen aus$\mathcal{H}$Zu$\mathbb{C}$. Es besteht eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen$\mathcal{H}$Und$\mathcal{H}^{\dagger}$die man mit Hilfe des Skalarprodukts definieren kann. In Diracs Notationen ist das Bild von$|\psi\rangle$unter dieser Korrespondenz ist angegeben$\langle \psi|$, so dass$\langle \psi|$angewendet$|\phi\rangle$ist das innere Produkt$\langle \psi|\phi\rangle$.

Endlich ein Operator$\hat{A}$ist nur eine lineare Karte$\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$auf Staaten$|\psi\rangle$. Staat gegeben$|\psi\rangle$,$\hat{A}|\psi\rangle$ist nur ein weiterer Zustand, dh ein weiteres Element von$\mathcal{H}$. Dann,$\langle \psi|\hat{A}|\psi\rangle$ist einfach das innere Produkt von$|\psi\rangle$mit$\hat{A}|\psi\rangle$. So ergibt sich der Erwartungswert von$\hat{A}$im Staat$|\psi\rangle$ist definiert.

Sobald Sie den diskreten Fall verstanden haben, in dem Ihre Basis endlich oder zumindest zählbar ist, können Sie versuchen, den Fall zu verstehen, in dem Ihre Basis nicht mehr zählbar ist. In diesem Fall das Etikett$\psi$wird kontinuierlich und$\sum$wird durch ein Integral ersetzt$\int$, aber konzeptionell hat sich die Situation nicht geändert, haben Sie es immer noch mit einem komplexen Vektorraum zu tun, der mit einem inneren Produkt ausgestattet ist.

In der Tat, wenn die Elemente$|r\rangle$ist, wo$r$ist jetzt ein fortlaufendes Etikett, das die Basiselemente Ihres Raums bezeichnet, dann ein generisches Element$|\psi\rangle$ist von der Form$\int dr\, \psi(r)|r\rangle$Wo$\psi(r)$bezeichnet einfach das Skalarprodukt$\langle r|\psi\rangle$.

$\int dr\, |r\rangle \langle r|$ist nur eine Notation für den abbildenden Operator$|\psi\rangle$Zu$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$. Wie oben beschrieben$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$ist nur$\int dr\, \psi(r)|r\rangle$, nämlich$|\psi\rangle$selbst. Mit anderen Worten,$\int dr\, |r\rangle \langle r|$ist nur der Identitätsoperator$I$.

Als Konsequenz,$I$angewendet$|\psi\rangle$Ist$|\psi\rangle$, kann aber auch geschrieben werden als$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$, daher die erste Gleichheit der drei Gleichheiten, die in Ihrem Buch gefunden und in Ihrer Frage erwähnt werden. Die zweite und dritte Gleichheit drücken die gleiche Idee aus, indem sie nur unterschiedliche Basen verwenden (zum Beispiel die Impulsbasis in der zweiten Gleichheit anstelle der Positionsbasis in der ersten).

$\langle \cdot | \cdot \rangle$ist ein inneres Produkt.

Lassen Sie uns zuerst umbenennen$r$als$r_0$und stellen Sie es sich als eine feste Konstante vor (dh einen Meter oder was auch immer Sie wollen). Wenn du schreibst$\langle r_0 | \psi \rangle$, nehmen Sie das Skalarprodukt zwischen Ihren Zuständen$| \psi \rangle$Und$\langle r_0 |$. Aber$| r_0 \rangle$ist ein Element der Basis$\{| r \rangle :$ $r \in \mathbb{R}, r>0\}$, und so können wir auch sagen, dass wir Ihren Zustand (Vektor) auf das Basiselement projizieren$| r_0 \rangle$. Im euklidischen Raum entspricht dies der Projektion Ihres Vektors auf die x-, y- oder z-Achse (oder wirklich jede andere Richtung). Die vollständige Basis unseres Hilbertraums ist die Menge aller Positionszustände auf dem Positiven (ich nehme an$r$steht für die radiale Richtung) reelle Linie, also ist die Basis WIRKLICH groß, so groß wie die gesamte Menge der reellen Zahlen. Für jeden einzelnen$r_j$, Sie können sich vorstellen$|r_j \rangle$als Achse im euklidischen Raum. Aber der euklidische Raum hat nur 3 Dimensionen, also drei Achsen, während unser Hilbertraum unendlich viele Achsen hat.

Im euklidischen Raum können Sie beliebige Vektoren in Komponenten einer Basis zerlegen. Früher auf (orthonormaler) Basis gegeben$x_0,x_1,x_2$, können wir unseren Vektor schreiben$x$als$x= x \cdot x_0 \cdot e_0 + x \cdot x_1 \cdot e_1+ x \cdot x_2 \cdot e_2 = \sum_{i=0}^2 x_i\cdot x \cdot e_i$Wo$e_i$liegt im Richtungsvektor von$x_i$. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass ein Vektor die Summe aller seiner Komponenten (Projektionen) in allen Basisrichtungen ist. Seit$\langle r_j| r_i \rangle =0$Wenn$r_i\neq r_j$, Und$\langle r_j| r_j \rangle =1$,$|r\rangle$ist eine Orthonormalbasis.

Für unseren Hilbertraum haben wir also$|\psi \rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} \langle r \cdot| \psi \rangle |r\rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} |r\rangle\langle r| \psi \rangle$wo wir die direkte Korrespondenz haben$e_i ->|r\rangle , x_i -> \langle r|$Und$x -> |\psi \rangle$.

Da wir über die gesamte positive reelle Linie summieren, können wir diese Summe in ein Integral umwandeln und erhalten so$|\psi \rangle = \int |r\rangle\langle r| \psi \rangle dr$

Aber$|\psi \rangle$hängt nicht von r ab, und so können wir es aus dem Integral herausnehmen, was das ergibt$\int |r\rangle\langle r|dr$muss die Identität sein, da die obige Gleichung für alle gilt$|\psi\rangle$.

Wir können jetzt den Erwartungswert eines Operators angehen.$\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{A} \int |x\rangle\langle x|dx| \psi \rangle = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\langle x|\psi\rangle dx = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\Psi(x) dx$

Nun, wenn Sie schlau sind, verwenden Sie eine solche Basis$\hat{A}$in dieser Basis diagonal ist, in diesem Fall haben Sie$\hat{A}|x\rangle=|x\rangle A(x)$, Wo$A(x)$ist der Eigenwert des Eigenvektors$|x\rangle$von$\hat{A}$. (Für den Positionsoperator$\hat{x}$ $\hat{x}|x\rangle=|x\rangle x$. Dies ist eigentlich die Grundlage$|x\rangle$ist definiert, als die Basis, die den Positionsoperator diagonalisiert.)

So haben wir$\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \int \langle \psi | x\rangle A(x) \Psi(x) dx=\int \Psi(x)^* A(x) \Psi(x) dx$

Beachten Sie, dass es wie im euklidischen Raum mehr als eine orthonormale Basis gibt, sodass Sie Ihren Zustand projizieren können$|\psi\rangle$in eine andere Basis als die Positionsbasis. Zum Beispiel können Sie Ihre Wellenfunktion ausdrücken$\Psi$in den Positions- oder Impulsraum, die einfach der Projektion Ihres Zustands entsprechen$|\psi \rangle$in die Orts- bzw. Impulsbasis. Sie projizieren Ihren Zustand in die Basis, die für Sie am nützlichsten ist. Sie projizieren beispielsweise in die Impulsbasis, wenn Sie den durchschnittlichen Impuls Ihres Teilchens wissen möchten, da der Impulsoperator dann diagonal ist und der Erwartungswert des Impulses Ihres Teilchens daher einfach zu berechnen ist.$\langle\hat{p}\rangle = \int p|\Psi(p)|^2 dp$

Ein weiteres Beispiel: Sie können jeden Spin-Zustand durch die z-, x- oder y-Komponente des Zustands ausdrücken, die alle gleichwertige Basis sind.