Bra-Ket-Notation

Lassen Sie mich ein wenig in der Notation der Mathematiker arbeiten und dann wieder zur Dirac-Notation wechseln.

Angenommen, Sie beginnen mit einem Hilbert-Raum$\mathscr H$, die Sie als Raum von Funktionen aus einem Koordinatenraum verstehen können$S$hinein$\mathbb C$, dh wenn$f\in\mathscr H$Dann$f:R\to \mathbb C$, und dass Sie einen geeigneten Begriff des inneren Produkts haben$(·,·):\mathscr H\times \mathscr H\to\mathbb C$, wie zB ein Integral über$R$. (Anmerkung hier$(·,·)$sollte beim zweiten Argument linear sein.)

Bei dieser Struktur für jeden Vektor$f\in\mathscr H$Sie können eine lineare Funktion definieren$\varphi_f:\mathscr H\to \mathbb C$, dh eine Funktion, die Elemente übernimmt$g\in \mathscr H$und weist ihnen komplexe Zahlen zu$\varphi_f(g)\in \mathbb C$, dessen Aktion speziell durch gegeben ist$\varphi_f(g) = (f,g)$. Als solche,$\varphi_f$lebt in$\mathscr H^*$, das Dual von$\mathscr H$, das ist die Menge aller (beschränkten und/oder stetigen) linearen Funktionale aus$\mathscr H$Zu$\mathbb C$.

Es gibt viele andere interessante Funktionen. Zum Beispiel, wenn$\mathscr H$ist ein Funktionsraum$f:R\to \mathbb C$, dann ist ein weiteres solches Funktional eine Bewertung an einem bestimmten Punkt$x\in R$: dh die Karte$\chi_x:\mathscr H\to\mathbb C$gegeben von

$$\chi_x(g) = g(x).$$ Im Allgemeinen ist diese Karte weder begrenzt noch stetig (bezüglich der Topologie von $\mathscr H$), aber das können Sie vorerst ignorieren; die meisten Physiker tun es.

So haben Sie diesen großen, geräumigen Funktionsraum$\mathscr H^*$, und Sie haben diese Einbettung von$\mathscr H$hinein$\mathscr H^*$gegeben von$\varphi$. Im Allgemeinen aber$\varphi$kann oder kann nicht die Gesamtheit abdecken$\mathscr H^*$.

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Die Entsprechung davon in der Dirac-Notation lautet wie folgt:

• $f$bezeichnet ist$|f\rangle$und es heißt Ket.

• $\varphi_f$bezeichnet ist$\langle f|$und es heißt BH.

• $\chi_x$bezeichnet ist$\langle x|$, und es wird auch BH genannt.

Wenn Sie diese zusammenstellen, erhalten Sie einige der Dinge, die Sie wollten:

2. $\langle x |f\rangle$Ist$\chi_x(f) = f(x)$, dh nur die Wellenfunktion.

6. $\langle f | g \rangle$Ist$\varphi_f(g) = (f,g)$, dh das innere Produkt von$f$Und$g$An$\mathscr H$, so wie es sein sollte.

Beachten Sie insbesondere, dass sich diese nur aus der Gegenüberstellung der entsprechenden Interpretationen der relevanten BHs und Kets ergeben.

7.Etwas überraschend,$\langle f | x\rangle$ ist tatsächlich definiert - es wertet nur aus$f(x)^*$. Das liegt im Wesentlichen daran, dass in den Gehirnen der Physiker

9. $|x\rangle$eigentlich definiert ist. Es wird normalerweise als "eine Funktion verstanden, die unendlich lokalisiert ist$x$“, was natürlich einen Physiker braucht, um es zu verstehen (oder genauer gesagt, um die Tatsache, dass es keinen Sinn ergibt, mit der Hand wegzuwinken). Dies passt zu

8.' $\langle x' | x\rangle$, das Braket zwischen verschiedenen Positionen$x,x'\in R$, die zu ausgewertet wird$\delta(x-x')$. Das bedeutet dann natürlich das

8. $\langle x | x\rangle$, wobei beide Positionen gleich sind, ist nicht wirklich definiert.

Wenn dies so aussieht, als ob Physiker sich in keiner Weise um Strenge kümmern, dann deshalb, weil es meistens so ist. Ich sollte jedoch betonen, dass es möglich ist , diesen Zuständen durch einen Formalismus, der als manipulierte Hilbert-Räume bekannt ist, eine strenge Grundlage zu geben, bei der Sie sich im Wesentlichen trennen$\mathscr H$Und$\mathscr H^*$in verschiedene "Schichten". Alles in allem erfordert dies jedoch mehr Funktionsanalyse, als die meisten Physiker wirklich lernen, und es ist nicht erforderlich, diese Objekte erfolgreich zu bearbeiten.

Nachdem wir das getan haben, kommen wir nun zu einigen der Orte, an denen Sie einige sehr seltsame Wege gegangen sind:

3. $\langle x| O\rangle$hat nichts zu bedeuten. Auch nicht "Operator auf einem Eigenwert von$O$die die entsprechende Eigenfunktion unter Ortsbasis erzeugt".

4. $|O\rangle$ist kein Ding. Sie stecken niemals Operatoren in ein Ket (und schon gar nicht alleine).

Bediener agieren immer außerhalb des Kets. Angenommen, Sie haben einen Operator$O:\mathscr H\to\mathscr H$, was in mathematischer Notation einen Vektor nehmen würde$f\in \mathscr H$und dir einen anderen geben$O(f)\in \mathscr H$. In der Dirac-Notation neigt man dazu, einen Hut aufzusetzen$\hat O$, und Sie verwenden$\hat O|f\rangle$meinen$O(f)$.

Dies wird insbesondere für das grundlegendste Bit der Notation verwendet:

• $\langle f |\hat O|g\rangle$, was ein Mathematiker bezeichnen würde$\varphi_f(O(g)) = (f,O(g))$, oder alternativ (sobald Sie die hermitesche Konjugation definiert haben$O^*$von$O$)$\varphi_{O^*(f)}(g) = (O^*(f),g)$.

Dazu gehört als Sonderfall

5. $\langle f |G(\hat x)|f\rangle$. Dies wird manchmal abgekürzt als$\langle G(\hat x)\rangle$, aber das ist ein gutes Rezept für Verwirrung. In diesem Fall,$G:R \to \mathbb C$ist im Allgemeinen eine Funktion, aber$G(\hat x)$ist ein ganz anderes Objekt: Es ist ein Operator, also zB$G(\hat x)|f\rangle$lebt in$\mathscr H$, und seine Wirkung ist so, dass dieser Vektor eine Wellenfunktion hat

$$\langle x| G(\hat x) | f \rangle = G(x) f(x).$$ Das allgemeine Matrixelement $\langle g |G(\hat x)|f\rangle$wird dann als inneres Produkt von angenommen $|g\rangle$mit diesem Vektor, dh $\int_R g(x)^*G(x) f(x)\mathrm dx$, und ähnlich im Spezialfall $g=f$.

Abschließend bringt uns dies zu Ihren letzten beiden Fragen:

10.Die Aussage, dass "der BH-Teil des BHs immer eine Dummy-Variable ist", ist falsch. Wie du gesehen hast,$\langle f|$ist perfekt definiert. (Auch,$x$Und$p$sind auch keine "Dummy"-Variablen, wie Sie oben gesehen haben.)

11.Ebenso ist die Aussage, dass "der Ket-Teil immer eine Funktion/ein Operator ist", ebenfalls falsch. Sie platzieren Operatoren niemals in einem Ket (Sie platzieren sie links), und es ist im Allgemeinen in Ordnung, sie zu platzieren$x$ist drin (obwohl dies wiederum entweder mehr Arbeit erfordert, um die Dinge festzuschrauben, oder die Bereitschaft, die Probleme von Hand wegzuwinken).

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Ich hoffe, dies reicht aus, um die Probleme in Ihrem Verständnis zu beheben und Sie dazu zu bringen, die Dirac-Notation richtig zu verwenden. Es dauert eine Weile, bis man den Kopf frei hat, aber wenn man es einmal getan hat, ist es sehr nützlich. Ebenso gibt es viele Probleme in Bezug darauf, wie wir Dinge wie Positions-Kets formalisieren$|x\rangle$, aber sie sind alle überwindbar und, was am wichtigsten ist, sie machen viel mehr Sinn, wenn Sie die Dirac-Notation eine Zeit lang korrekt und bequem verwendet haben.

Ein kurzer Blick auf die Quantenmechanik durch Diracs Bra-ket-Notation [*]

1- In der Quantenmechanik wird ein physikalischer Zustand durch einen Zustandsvektor in einem komplexen Vektorraum dargestellt . Die Dimension des Vektorraums wird durch die Natur des betrachteten physikalischen Systems festgelegt.

2- Ein Zustandsvektor wird durch ein ket bezeichnet ,$|\alpha\rangle$, die vollständige Informationen über den physikalischen Zustand enthält .

3- Zwei Kets können hinzugefügt werden, um ein neues Ket zu erzeugen, und ein Ket kann mit einer komplexen Zahl multipliziert werden.

$$|\alpha\rangle+|\beta\rangle=|\gamma\rangle$$ $$c|\alpha\rangle=|\alpha\rangle c$$ Die Keten $|\alpha\rangle$Und $c|\alpha\rangle$( $c\neq0$) denselben physikalischen Zustand darstellen.

4- Eine Observable wird durch einen Operator bezeichnet ,$\hat{A}$.

5- Ein Bediener agiert auf einem Ket von der linken Seite,$\hat{A}|\alpha\rangle$.

6- Im Allgemeinen$\hat{A}|\alpha\rangle$ist keine Konstante mal$|\alpha\rangle$aber es gibt bestimmte Kets, Eigenkets von$\hat{A}$, sagen$|{a}'\rangle$,$|{a}''\rangle$,$|{a}'''\rangle,...$die das Eigentum haben

$$\hat{A}|{a}'\rangle=\lambda_{{a}'}|{a}'\rangle, \hat{A}|{a}''\rangle=\lambda_{{a}''}|{a}''\rangle, \hat{A}|{a}'''\rangle=\lambda_{{a}'''}|{a}'''\rangle,...$$ Wo $\lambda_{{a}'}$, $\lambda_{{a}''}$, $\lambda_{{a}'''}$sind nur Zahlen und werden Eigenwerte genannt . Der vollständige Satz von Eigenwerten, der mit bezeichnet wird $\left \{ \lambda_{{a}'}\right \}$.

7- Ein physikalischer Zustand, der einem Eigenket entspricht, wird als Eigenzustand bezeichnet .

8- Angenommen, wir interessieren uns für einen N-dimensionalen Vektorraum, der von N Eigenkets einer Observablen aufgespannt wird$\hat{A}$, dann irgendwelche$|\alpha\rangle$kann geschrieben werden als

$$|\alpha\rangle=\sum_{{a}'} c_{{a}'}|{a}'\rangle$$ wobei die Summation über alle Eigenkets von erfolgt $\hat{A}$Und $c_{{a}'}$komplexe Zahlen sind (die Eindeutigkeit einer solchen Entwicklung kann bewiesen werden). Hier $\sum$gibt zählbare (diskrete) Zustände an, endlich oder unendlich. Für nicht zählbare (kontinuierliche) Zustände gilt die $\sum$wird ersetzt durch $\int$(siehe 30).

9- Es gibt einen doppelten Ket-Raum, der als BH- Raum bezeichnet wird, und für jeden Ket$|\alpha\rangle$es gibt einen BH, bezeichnet mit$\langle\alpha|$. Der BH-Raum wird von Eigen-BHs überspannt $\left \{ \langle {a}'|\right \}$die Eigenkets entsprechen$\left \{ |{a}'\rangle \right \}$.

10- Es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (duale Entsprechung, DC) zwischen einem Ket-Raum und einem BH-Raum, und grob gesagt kann der BH-Raum als eine Art Spiegelbild des Ket-Raums betrachtet werden.

$$|\alpha\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} \langle\alpha|$$ $$|\alpha\rangle+|\beta\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} \langle\alpha|+\langle\beta|$$ $$c|\alpha\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} c^{*}\langle\alpha|$$ Wo $c^{*}$ist komplex konjugiert von $c$.

11- Das innere Produkt eines BHs$\langle\beta|$und ein ket$|\alpha\rangle$ist im Allgemeinen eine komplexe Zahl und wird geschrieben als$\langle\beta|\alpha\rangle$.

12- Zwei grundlegende Eigenschaften des inneren Produkts sind

$$\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle^{*}$$ $$\langle\alpha|\alpha\rangle {\geq}0 \textrm{ (positive definite metric)}$$

13- Zwei Kets$|\alpha\rangle$Und$|\beta\rangle$heißen orthogonal , wenn

$$\langle\alpha|\beta\rangle=0$$

14- Ein Ket$|\alpha\rangle$(kein Null-Ket) kann normalisiert werden

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\frac{1}{\sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle}}|\alpha\rangle$$ mit Eigentum $$\langle\tilde{\alpha}|\tilde{\alpha}\rangle=1$$ Wo $\sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle}$heißt die Norm von $|\alpha\rangle$.

15- Betrachten wir drei Operatoren$\hat{X}$,$\hat{Y}$Und$\hat{Z}$(die nicht notwendigerweise Observables darstellen).$\hat{X}$heißt der Nulloperator if

$$\hat{X}|\alpha\rangle=0$$ Und $\hat{X}$Und $\hat{Y}$heißen gleich wenn $$\hat{X}|\alpha\rangle=\hat{Y}|\alpha\rangle$$

16- Operatoren können hinzugefügt werden, und die Addition ist kommutativ und assoziativ

$$\hat{X}+\hat{Y}=\hat{Y}+\hat{X}$$ $$\hat{X}+(\hat{Y}+\hat{Z})=(\hat{X}+\hat{Y})+\hat{Z}.$$

17- Operatoren sind linear

$$\hat{X}(c_{\alpha}|\alpha\rangle+c_{\beta}|\beta\rangle)=c_{\alpha}\hat{X}|\alpha\rangle+c_{\beta}\hat{X}|\beta\rangle$$

18- Ein Bediener wirkt auf einen BH von der rechten Seite ein,$\langle\alpha|\hat{X}$.

19- Es gibt die duale Korrespondenz

$$\hat{X}|\alpha\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} \langle\alpha|\hat{X}^{\dagger}$$ Wo $\hat{X}^{\dagger}$ist hermitesch konjugiert von $\hat{X}$.

20- Operatoren können multipliziert werden und die Multiplikation ist nicht kommutativ, sondern assoziativ.

$$XY\neq YX$$ $$X(YX)=(XY)Z=XYZ$$ Das lässt sich belegen $${\left ( XY \right )}^{\dagger}=Y^{\dagger}X^{\dagger}$$

21- Ein Ket$|\alpha\rangle$und ein BH$\langle\beta|$kann durch ein äußeres Produkt einen Operator bilden $|\alpha\rangle\langle\beta|$.

22- Das Folgende sind illegale Produkte ,$\hat{X}\langle\alpha|$,$|\alpha\rangle\hat{X}$,$|\alpha\rangle|\beta\rangle$,$\langle\alpha|\langle\beta|$(vorausgesetzt, dass$|\alpha\rangle$Und$\beta\rangle$befinden sich im gleichen Raum).

23- Der Ausdruck$|\beta\rangle\langle\alpha|\gamma\rangle$kann auf zwei verschiedene Arten interpretiert werden: Erstens der Operator$|\beta\rangle\langle\alpha|$wirkt auf ket$|\gamma\rangle$; Zweitens die Zahl$\langle\alpha|\gamma\rangle$Multiplizieren des Ket$|\beta\rangle$. Nach erster Interpretation der Operator$|\beta\rangle\langle\alpha|$dreht die Ket$|\gamma\rangle$in Richtung$|\beta\rangle$.

24- Drei wichtige Gleichheiten, die es zu beachten gilt, sind:

$$\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle^{*}\textrm{ (see 12)}$$ $$\left (|\beta\rangle\langle\alpha|\right )^{\dagger}=|\alpha\rangle\langle\beta|$$ $$\langle\alpha|\hat{X}|\beta\rangle=\langle\beta|\hat{X}^{\dagger}|\alpha\rangle^{*}$$

25- In der Quantenmechanik hermitesche Operatoren ($\hat{A}=\hat{A}^{\dagger}$) erweisen sich recht oft als Operatoren, die einige physikalische Observablen darstellen. Es kann gezeigt werden, dass ein hermitescher Operator,$\hat{A}$, hat reelle Eigenwerte und orthogonale (oder konventionell orthonormale) Eigenkets. Das ist für

$$\hat{A}|{a}'\rangle=\lambda_{{a}'}|{a}'\rangle$$ wir haben $$\lambda_{{a}'}=\lambda_{{a}'}^{*}\textrm{ and }\langle{a}''|{a}'\rangle=\delta _{{a}''{a}'}$$ Wo $\delta$ist das Kronecker-Delta.

26- Wir haben gezeigt, dass (siehe 8) ein beliebiges Ket$|\alpha\rangle$, in dem Raum, der von den Eigenkets von aufgespannt wird$\hat{A}$, kann erweitert werden als

$$|\alpha\rangle=\sum_{{a}'} c_{{a}'}|{a}'\rangle$$ indem man beide Seiten der Gleichung mit multipliziert $\langle{a}''|$von der linken Seite und unter Verwendung von Orthonormalität haben wir $$c_{{a}'}=\langle{a}'|\alpha\rangle$$ was äquivalent ist $$|\alpha\rangle=\sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|\alpha\rangle$$ Weil $|\alpha\rangle$ist ein beliebiges ket, das wir haben müssen $$\sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|=\mathbb{I}$$ Wo $\mathbb{I}$stellt den Identitätsoperator dar. Dies ist als Vollständigkeitsbeziehung oder Nähe und Operator bekannt $$\Lambda_{{a}'}=|{a}'\rangle\langle{a}'|$$ heißt Projektionsoperator .

27- In der Quantenmechanik bewirkt eine Messung immer, dass das System in einen der Eigenzustände der gemessenen physikalischen Observablen springt.

Nehmen wir an, das System befindet sich in einem Zustand$|\alpha\rangle$vor der Messung und wir wollen das Beobachtbare messen$\hat{A}$. Nach der Messung wird das System in einen der geworfen$\left \{ |{a}'\rangle \right \}$, sagen$|{a}'\rangle$, das ist,

$$|\alpha\rangle\xrightarrow{measurement}|{a}'\rangle$$ Mit anderen Worten ändert die Messung normalerweise den Zustand. Die einzige Ausnahme ist, wenn der Zustand bereits in einem der Eigenzustände ist, die wir haben $$|{a}'\rangle\xrightarrow{measurement}|{a}'\rangle$$ Wenn die Messung verursacht $|\alpha\rangle$zu ändern $|{a}'\rangle$es wurde gesagt, dass $\hat{A}$gemessen wird $\lambda_{{a}'}$, das heißt, die Messung liefert einen der Eigenwerte der Observablen.

28- Wir wissen nicht im Voraus, in welche der$\left \{ |{a}'\rangle \right \}$Das System wird als Ergebnis der Messung geworfen, aber es wird postuliert , dass die Wahrscheinlichkeit für den Sprung in einen bestimmten Eigenzustand$|{a}'\rangle$wird von gegeben$\left | \langle{a}'|\alpha\rangle \right |^{2}$.

29- Der Erwartungswert einer Observable$\hat{A}$für einen Staat$|\alpha\rangle$ist definiert als

$$\langle A\rangle \equiv \langle \alpha|\hat{A}|\alpha \rangle$$ was äquivalent ist $$\langle A\rangle = \sum_{{a}'}\sum_{{a}''} \langle \alpha|{a}'' \rangle \langle {a}''|\hat{A}|{a}' \rangle \langle {a}'|\alpha \rangle$$ und stimmt mit der Intuition des durchschnittlich gemessenen Wertes überein $$\langle A\rangle = \sum_{{a}'} \lambda_{{a}'} \left | \langle {a}'|\alpha \rangle \right |^{2}$$ also Summe aller Messwerte $\lambda_{{a}'}$, $\lambda_{{a}''},...$multipliziert mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, den jeweiligen Wert zu messen, $\left | \langle {a}'|\alpha \rangle \right |^{2}$, $\left | \langle {a}''|\alpha \rangle \right |^{2},...$

30- Wie bereits erwähnt (siehe 8) war die bisher vorgestellte Notation für Vektorräume mit diskreten (zählbaren) Dimensionen. Bei Vektorräumen mit stetiger (unabzählbarer) Dimension ändert sich die Notation leicht.

Lassen$\hat{\eta}$stellen eine Observable mit kontinuierlichen Eigenkets dar$|\eta \rangle$, dann ändern sich vorherige Definitionen zu

$$\begin{matrix} discrete & & continuous\\ \hat{A}|{a}'\rangle=\lambda_{{a}'}|{a}'\rangle &\rightarrow& \hat{\eta}|{\eta}'\rangle=\lambda_{{\eta}'}|{\eta}'\rangle\\ \langle{a}'|{a}''\rangle=\delta _{{a}'{a}''} & \rightarrow& \langle{\eta}'|{\eta}''\rangle=\delta \left ( {\eta}'-{\eta}'\right ) \\ \sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|=\mathbb{I} &\rightarrow& \int\mathrm{d}{\eta}'|{\eta}' \rangle\langle{\eta}'|=\mathbb{I} \\ |\alpha\rangle=\sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|\alpha\rangle &\rightarrow & |\alpha\rangle=\int \mathrm{d}{\eta}'|{\eta}'\rangle\langle{\eta}'|\alpha\rangle\\ \end{matrix}$$ Wo $\delta \left ( {\eta}'-{\eta}'\right )$ist Diracs Delta-Funktion.

31- Die Position als Observable ist ein gutes Beispiel für einen Vektorraum mit kontinuierlicher Dimension. Lassen$\hat{X}$sei dann der Positionsoperator in einer Dimension

$$\hat{X}|{x}'\rangle=\lambda_{{x}'}|{x}'\rangle$$ und für jeden zufälligen Zustand $|\alpha\rangle$wir haben $$|\alpha\rangle=\int \mathrm{d}{x}'|{x}'\rangle\langle {x}'|\alpha\rangle$$ Ähnlich dem diskreten Fall (siehe 28) $$\left |\langle {x}'|\alpha\rangle \right |^{2}\mathrm{d}{x}'$$ wird als Wahrscheinlichkeit postuliert , das Teilchen in einem kleinen Intervall zu finden $\mathrm{d}{x}'$um den Punkt ${x}'$.

32- Der Begriff$\langle {x}'|\alpha\rangle$ist die Wellenfunktion im Ortsraum und dargestellt als

$$\psi_{\alpha}\left ( {x}' \right )=\langle {x}'|\alpha\rangle$$ Mit der Definition der Wellenfunktion das Skalarprodukt $\langle \beta|\alpha\rangle$kann geschrieben werden als $$\begin{align*} \langle \beta|\alpha\rangle&=\int\mathrm{d}{x}'\langle \beta|{x}'\rangle\langle {x}'|\alpha\rangle \\&=\int\mathrm{d}{x}'\psi_{\beta}^*\left ( {x}' \right ) \psi_{\alpha} \left ( {x}' \right ) \end{align*}$$

[*] Übernommen aus dem Buch Modern Quantum Mechanics (Revised Edition) von JJ Sakurai, S. 10-60.