Vektor z⃗z→\vec{z} und seine konjugierte Transponierte v⃗⊤¯¯¯¯¯¯v→⊤¯\overline{\vec{v}^\top} - ist das dasselbe wie |z⟩|z⟩\left |z\right\rangle und ⟨z|⟨z|\left\langle z \right|

Aus Wiki :

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum kann das innere Produkt unter Verwendung einer festen orthonormalen Basis als Matrixmultiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor geschrieben werden:

$\langle A | B \rangle = A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + \cdots + A_N^* B_N = \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}$

Auf dieser Grundlage können die BHs und Kets definiert werden als:

$\langle A | = \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}$

$| B \rangle = \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}$

und dann versteht es sich, dass ein BH neben einem Ket eine Matrixmultiplikation impliziert.

Die konjugierte Transponierte (auch „Hermitian conjugate“ genannt) eines BHs ist die entsprechende Ket und umgekehrt:

$\langle A |^\dagger = |A \rangle, \quad |A \rangle^\dagger = \langle A |$

denn wenn man mit dem bh anfängt

$\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix},$führt dann eine komplexe Konjugation durch, und dann eine Matrixtransponierung, man endet mit dem Ket

$\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_N \end{pmatrix}$

In den Kommentaren spricht Alfred den Begriff des dualen Raums an. Wenn Sie versuchen, Diracs QM-Prinzipien zu lesen, werden Sie feststellen, dass er mit dualem Raum beginnt.

In Dirac-Notation$|z\rangle$ist ein Element eines abstrakten Vektorraums$\mathcal{H}$. Dann gibt es einen Begriff des dualen Raums: den dualen Raum$\mathcal{H}^*$ist der Raum aller (stetigen) linearen Funktionale auf$\mathcal{H}$. Hier wird die Kontinuität (wie auch die Topologie) nur im unendlichdimensionalen Raum gefordert, im endlichdimensionalen Fall mit vernünftiger Topologie ist die Kontinuität gegeben. Nun, lineare Funktion ist nur eine lineare Funktion$v:\mathcal{H}\to\mathbb{C}$. Es dauert ein$|z\rangle\in\mathcal{H}$zur Nummer$v(|z\rangle)\in\mathbb{C}$und du hast

$$v(\alpha|z\rangle+\beta|x\rangle)=\alpha v(|z\rangle)+\beta v(|x\rangle).$$

Nun ist die Dirac-Notation zu schreiben$\langle v|z \rangle$anstatt$v(|z\rangle)$. Das ist,$|z\rangle\in\mathcal{H}$während$\langle v|\in\mathcal{H}^*$.

Dann wird eine Annahme gemacht. Es liegt ein hermitisches inneres Produkt vor$\mathcal{H}$. Das heißt, für jedes Vetorenpaar$|x\rangle,|y\rangle\in\mathcal{H}$Wir haben eine Nummer$\left(\alpha|x\rangle,\beta|y\rangle\right)=\bar{\alpha}\beta\left(|x\rangle,|y\rangle\right)$. (Achtung: Mathematiker setzen den Balken normalerweise oben$\beta$). Dieses innere Produkt erzeugt einen Isomorphismus zwischen$\mathcal{H}$Und$\mathcal{H}^*$. Das heißt, für jeden Vektor$|x\rangle\in\mathcal{H}$ definiere das Funktional$\langle x|\in\mathcal{H}^*$durch seine Wirkung auf Vektoren:

$$\langle x|z\rangle:=\left(|x\rangle,|z\rangle\right).$$

In dieser Formulierung$\dagger$, hermitesch konjugiert, ist für Operatoren definiert:

$$\left(|x\rangle,A|y\rangle\right)=\left(A^\dagger|x\rangle,|y\rangle\right).$$

Für Vektoren wird es normalerweise in der Matrixschreibweise als das komplexe Konjugat der Transponierten definiert. Aus dem unten Geschriebenen geht hervor, dass es natürlich ist, zu verlängern$\dagger$zu diesem Formalismus als$\dagger:\mathcal{H}\to\mathcal{H}^*$,$|z\rangle^\dagger=\langle z|$.

Im endlichdimensionalen Raum können Sie eine Basis auswählen$|b_i\rangle$und identifiziere einen Vektor mit seinen Koordinaten:$|z\rangle=z^i|b_i\rangle$. Kein Grund, sie nicht in einer Spalte anzuordnen$Z$. Dann können Sie eine duale Basis definieren$\langle \beta^j|$In$\mathcal{H}^*$von

$$\langle \beta^j | b_i\rangle=\delta^j_i\\ \beta^j(|b_i\rangle)=\delta^j_i$$ (Die letzte Zeile ist in 'Standard'-Notation, um Sie daran zu erinnern, dass hier kein Skalarprodukt involviert ist). Dann kann ein Funktional mit seinen Koordinaten identifiziert werden $\langle a|=a_j\langle \beta^j|$. Wenn wir sie in einer Reihe anordnen $A$, dann kann überprüft werden, ob die Nummer $a(|z\rangle)=\langle a|z \rangle$wird von gegeben $AZ$.

Sie können sich also Zeilen als Elemente des dualen Raums vorstellen$\mathcal{H}^*$(und sie mit BHs identifizieren) und Säulen als Elemente des Raums$\mathcal{H}$(und sie mit Kets identifizieren). Was ist mit konjugierter Transponierung? Wenn Sie jetzt sagen, dass es auf Ihrem Raum ein hermitisches inneres Produkt gibt, und$|b_i\rangle$eine orthonormale Basis ist, dann ist dieses Produkt für zwei durch Spalten dargestellte Vektoren$X$Und$Y$wird von gegeben$X^\dagger Y$, Wo$\dagger$ist die übliche konjugierte Transponierte. Dann sieht man leicht, dass die erwähnte Isomorphie$\mathcal{H}\to\mathcal{H}^*$wird bereitgestellt von$\dagger$Spalten in Zeilen bringen.

(Dies ist mathematisch nicht streng, gehen Sie von der Tatsache aus, dass es im hermiteschen Fall tatsächlich als Antiisomorphismus usw. bezeichnet wird.)