Warum Ket- und Bra-Notation?

Tatsächlich stimme ich Ihnen zu, dass die Standardnotation meiner persönlichen Meinung nach bereits ausreichend klar ist, und die Klammernotation sollte verwendet werden, wenn sie wirklich nützlich ist. Ein typischer Fall in der QM ist, wenn ein Zustandsvektor durch eine solche Menge von Quantenzahlen bestimmt wird

$$\left|l m s \right\rangle$$ Ein weiterer Fall betrifft die Verwendung der sogenannten Besetzungsnummern $$\left|n_{k_1} n_{k_2}\right\rangle$$ im QFT. Auch q-Bit-Notation für Zustände $\left|0\right\rangle$, $\left|1\right\rangle$in der Quanteninformationstheorie ist sinnvoll ... Schließlich erlaubt die Verwendung der Klammernotation, orthogonale Projektoren auf Unterräume auf sehr effektive Weise zu bezeichnen $$\sum_{|m|\leq l}\left|l m \right\rangle \left\langle l m\right|\:.$$

Ein Grund für seine aus meiner Sicht heutzutage nicht mehr ganz gerechtfertigte Verwendung ist historisch und dem Lehrbuch des berühmten PAM Dirac geschuldet. In den 1930er Jahren waren mathematische Objekte wie Hilbert-Räume und duale Räume, selbstadjungierte Operatoren, für Physiker keine sehr vertrauten mathematischen Werkzeuge. (Der moderne Begriff des Hilbert-Raums wurde 1932 von J. von Neumann in seinem weniger berühmten Lehrbuch über die mathematischen Grundlagen der QM erfunden.) Dirac schlug eine sehr schöne Notation vor, die einen grundlegenden Teil des Formalismus verkörperte. Es beinhaltet jedoch auch einige Nachteile. Insbesondere die Manipulation nicht-selbstadjungierter Operatoren, zB Symmetrien, erweist sich innerhalb des Braket-Formalismus als sehr umständlich. Wenn$A$ist selbstadjungiert, in$\left\langle \psi\right| A\left| \phi\right\rangle$Der Bediener kann gleichgültig als links oder rechts handelnd angesehen werden, wobei das Endergebnis erhalten bleibt. Wenn der Operator nicht selbstadjungiert ist, ist dies falsch.

Ich denke, die Bra-Ket-Notation ist ein sehr nützliches Werkzeug, sollte aber im QM "cum grano salis" verwendet werden. Aus meiner Sicht$\left|\psi\right\rangle$wo$\psi$ist eine Wellenfunktion der Qunatum-Mechanik , kann eine gefährliche Notation sein, insbesondere für Studenten, da sie irreführende Fragen wie diese erzeugt,$A\left|\psi\right\rangle = \left|A\psi \right\rangle$?

NACHTRAG . Ich verstehe, dass ich die Frage in einer breiteren Sichtweise interpretiert habe, in Bezug auf die Verwendung der Bra-Ket-Notation in der QM und nicht auf das eingeschränkte Gebiet der Quanteninformationstheorie.

Was ist "normale Vektornotation"? Ich habe spitze Klammern mit Kommas, runden Klammern, eckigen Klammern,$\hat{x}$,$\hat{i}$, Spaltenmatrizen, Zeilenmatrizen ... was davon ist "normal",$(x|y)$, ...?

Bras und Kets sind nur andere, mit dem besonderen Vorteil, dass sie den Vektorraum von seinem dualen Raum unterscheiden.

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Beachten Sie, dass einige davon Komponentennotationen sind, die für die Quantenmechanik nicht funktionieren, da die Anzahl der Dimensionen groß oder unendlich sein kann.

Ich denke, es gibt einen praktischen Grund für die Ket-Notation im Quantencomputing, nämlich dass dadurch die Verwendung von Indizes minimiert wird, was die Dinge manchmal lesbarer machen kann.

Wenn ich ein einzelnes Qubit habe, kann ich seine kanonischen Basisvektoren schreiben als$\mid 0 \rangle$und$\mid 1 \rangle$oder als$\mathbf{e}_0$und$\mathbf{e}_1$, es macht nicht wirklich viel Unterschied. Nehmen wir nun an, ich habe ein System mit vier Qubits. In "normaler" Vektorschreibweise müssten die Basisvektoren jetzt so etwas wie sein$\mathbf{e}_{0000}$,$\mathbf{e}_{1011}$, usw. Wenn diese langen Ziffernfolgen als winzige Indizes gesetzt sind, sind sie irgendwie schwer zu lesen und sehen nicht so gut aus. Mit Ket-Notation sind sie$\mid 0000\rangle$und$\mid 1011\rangle$usw., was diese Situation etwas verbessert. Könnte man auch vergleichen$\mid\uparrow\rangle$,$\mid\to\rangle$,$\mid\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\rangle$, usw. mit$\mathbf{e}_{\uparrow}$,$\mathbf{e}_{\to}$,$\mathbf{e}_{\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow}\,\,$für ein ähnliches Problem.

Alle bisherigen Antworten liefern gültige Gründe für die Dirac-Notation (Bras und Kets). Der zentrale Grund, warum Dirac die Einführung dieser Notation für notwendig hielt, scheint jedoch in diesen Antworten zu fehlen.

Wenn ich eine Menge als Vektor angebe, sagen wir

$$\mathbf{v}=[a, b, c, d, ...]^T$$ dann habe ich eigentlich schon entschieden, auf welcher Grundlage die Quantität ausgedrückt wird. Mit anderen Worten, jeder Eintrag repräsentiert den Wert (oder Koeffizienten) für dieses Basiselement.

Als Dirac seine Notation entwickelte, erkannte er, dass ein quantenmechanischer Zustand dieselben Informationen enthält, unabhängig davon, auf welcher Grundlage der Zustand ausgedrückt wird. Die Notation soll also diese Abstraktheit darstellen. Das Objekt$|\psi\rangle$macht keine Aussage darüber, auf welcher Grundlage sie sich ausdrückt. Wenn ich es in Bezug auf eine bestimmte Basis (z. B. die Positionsbasis) betrachten möchte, würde ich die Kontraktion berechnen

$$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$$ und dann lande ich bei der Wellenfunktion in der Positionsbasis. Ich kann es genauso gut in der Fourier-Basis ausdrücken $$\langle k|\psi\rangle = \psi(k)$$ und erhalten Sie die Wellenfunktion im Fourier-Bereich. Beide $\psi(x)$und $\psi(k)$enthalten dieselben Informationen, da sie durch eine Fourier-Transformation in Beziehung stehen. Jede stellt jedoch eine gewisse Voreingenommenheit in dem Sinne dar, dass sie auf eine bestimmte Grundlage bezogen sind. Die Stärke der Dirac-Notation besteht darin, dass sie es ermöglicht, Berechnungen durchzuführen, ohne diese besondere Voreingenommenheit einführen zu müssen. Ich denke, dies ist eine Fähigkeit, die die Dirac-Notation bietet, die in der gewöhnlichen Vektornotation nicht verfügbar ist.

Erstens macht diese Notation sehr deutlich, welche Objekte als Elemente des Urraums (Kets) oder Elemente des Dualraums (Bras) interpretiert werden.

Die Namen „bra“ und „ket“ erinnern daran, wie die Notation entstanden ist: als linke und rechte Hälfte eines inneren Produkts, der Projektion des Zustands$a$entlang der Messung$\phi$ist das Skalarprodukt (angezeigt durch spitze Klammern)$\langle \phi , a \rangle$, die typografisch zerlegt werden können$\langle \phi \mid\,\mid a \rangle$, zwei Objekte, die typografisch Vektorhaftigkeit andeuten.

Es gibt auch eine Schreibmaschinenbeschränkung, die zu dieser Notation beiträgt (und eher zu viele Notationen, die nur Varianten von zwei oder mehr Elementen in einer durch Kommas getrennten Liste sind, die durch runde oder eckige Klammern begrenzt sind: GCD, LCM, Objekt generiert von, treffen, verbinden , Intervalle mit verschiedenen Endpunktkonventionen, Sequenzen, Objekttupeln usw.). Es ist sehr zeitaufwändig, einen Spaltenvektor auf einer Schreibmaschine einzugeben. Schreibmaschinen haben keine übergroßen Klammern für Spaltenvektoren. Dies führt zu streng missgebildeten Konstruktionen wie „Let$A$sei ein linearer Operator zwischen$\Bbb{R}^2$und$\Bbb{R}^2$, dann$A \cdot (1,0)$hat ...", wo ein Zeilenvektor an einer Stelle eingegeben wird, an der ein Spaltenvektor erforderlich ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die häufigste Form von Vektoren zu Beginn der linearen Algebra schwer zu setzen ist und daher häufig falsch transponiert eingegeben wurde.

Außerdem sollten Elemente des Primal- und Dualraums leicht zu unterscheiden sein (um unbeabsichtigtes Schreiben zu verhindern, z. B.$\sum_i \mid \mathrm{e}_i \rangle \mid \mathrm{e}_i \rangle$). Die "offensichtliche" Lösung ist jedoch noch schwieriger zu tippen: "$\sum_i \langle \mathrm{e}_i \mid \underline{\widehat{\mathrm{e}_i}}$" (und selbst mit der vollen Leistung von MathJax, so viel Zeit, wie ich bereit bin, dafür aufzuwenden, muss der Primärvektor notwendigerweise nach oben statt nach unten zeigen).

Schließlich ist das Zeug, das man in einen BH oder Ket steckt, selten eine Reihe von Vektorkomponenten. Nach den Definitionen, die ein Mathematiker verwendet, stammen die Komponenten eines Vektors alle aus demselben Gebiet. Dies funktioniert nicht für Zustände, die durch einige kontinuierliche und einige diskrete Variablen beschrieben werden, oder für Zustände mit einigen Variablen im Primärraum und einigen Variablen im Tangentialraum. (Wenn wir dies erzwingen, erhalten wir tatsächlich direkte Summen von Moduln, keine Vektorräume.) Während wir also gerne Listen von zustandsbeschreibenden Zahlen in einen BH oder ein Ket stecken möchten, ist das, was wir erhalten, nicht und kann es nicht sein ein (formaler) Vektor.

Die Bra-Ket-Notation ist eine Weiterentwicklung des Skalarprodukts "normaler" Vektoren.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_i a_ib_i .$$ Dies wird auf das Skalarprodukt verallgemeinert $\langle a, b \rangle$, was für Funktionen definiert ist als: $$\langle a(x), b(x) \rangle = \int a(x)b(x) dx$$ im einfachen Fall von 1-Dim-Funktionen.

Nun, der große Vorteil der Bra-ket-Notation ist, dass man die Darstellung, dh das Koordinatensystem, nicht angeben muss, bis man etwas in einem bestimmten Raum berechnen möchte.

Ein Teil des Reizes der Notation ist die abstrakte Repräsentationsunabhängigkeit, die sie codiert, zusammen mit ihrer Vielseitigkeit bei der Erzeugung einer spezifischen Repräsentation (z. B. x oder p oder Eigenfunktionsbasis) ohne viel Aufhebens oder übermäßiges Vertrauen in die Natur der linearen Räume beteiligt.

Es ist ziemlich praktisch, wenn Sie beispielsweise Gleichungen wie auswerten

$$\langle \psi_0 | ( |\psi_0\rangle + |\psi_1\rangle) = \langle \psi_0 |\psi_0\rangle ,$$ wo $|\psi_i\rangle$sind einige orthogonale Zustände. Es ist eine schnelle Auswertung, ohne dass das System angegeben werden muss $|\psi\rangle$- ob $|\psi_0\rangle = (1, 0)$und $|\psi_1\rangle = (0, 1)$oder es ist $|\psi_0\rangle = (1, \pi/2)$und $|\psi_1\rangle = (1, 0)$in Polarkoordinaten $r, \varphi$.

Ich verstehe, Ihr Punkt, wenn Sie "normale" Vektornotation sagen, ist viel klarer. Das mag für diese einfachen Vektoren wie oben der Fall sein, macht es aber schwierig, die Dinge zu schreiben, wenn es um Funktionen im mehr- oder sogar unendlich dimensionalen Hilbert-Raum geht .

Die Bra-Ket-Notation stammt von Dirac. Feynman gibt eine gute Erklärung in seinen Lectures on Physics, vol. 3, S. 3-2. Wenn Sie mit bedingter Wahrscheinlichkeit vertraut sind, schreiben wir die Wahrscheinlichkeit des Sehens$b$wenn wir gesehen haben$a$ist geschrieben

$$P(b|a)$$

In der Quantenmechanik die Berechnung des Sehens$b$, wenn wir schon gesehen haben$a$, wird in Klammern notiert:

$$\langle b|a \rangle$$ Das ist dieselbe Idee, außer dass es sich nicht um eine Wahrscheinlichkeit handelt, sondern um eine komplexe Zahl, die als Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet wird . In der Quantenmechanik arbeiten wir nicht mit reellen Zahlen; die Wahrscheinlichkeitsrechnungen geben nur dann gute Vorhersagen, wenn wir mit komplexen Zahlen arbeiten. Am Ende der Berechnungen wird die Länge einer komplexen Zahl quadriert , um die reelle Wahrscheinlichkeit zu erhalten, die wir erwarten: $$| \langle b|a \rangle |^2$$

Jetzt können wir über hintere Zustände und frühere Zustände als "BH" sprechen.$\langle b|$und ein "ket"$|a \rangle$. Dann wenn anstelle eines bestimmten Ergebnisses$b$Wir betrachten alle möglichen Ergebnisse, das heißt einen Vektor, einen "BH-Vektor". Der Raum früherer Werte (oder Zustände) ist ein "Ket-Vektor".

Die Präferenz für die Klammernotation könnte damit zusammenhängen, wie man eine elegante klassische Interpretation der Quantenmessung macht.

Stellen Sie sich ein System vor, das vom Staat beschrieben wird$|\beta\rangle$dann der durchschnittliche oder erwartete Wert eines Operators$\hat{A}$was der klassischen Theorie entspricht, ist einfach die Klammer des Operators. Oder den Operator einklemmen:

$$\langle \beta| \hat{A} |\beta\rangle$$

Beim Wasserstoffatom zum Beispiel die Klammer des Ortsoperators, für ein Elektron in einem Eigenzustand$|\epsilon_{n}\rangle$, ist Null. Klassisch ist also das Elektron im Kern oder Ursprung:

$$\langle \epsilon_{n}| \hat{X} |\epsilon_{n}\rangle=0$$

Klassisch sinnvoll, warum keine Strahlung emittiert wird, während sich das System in einem Energie-Eigenzustand befindet.

Hier ist ein Beispiel. Nehmen wir an, Sie arbeiten mit dem freien Teilchen in der einführenden Quantenmechanik, wo der "Vektor"$\vec{\psi}$hat unendlich viele Komponenten (ich weiß, das klingt verrückt, wenn Sie nicht viel Erfahrung mit Quantenmechanik haben, aber es ist der Fall). Bei der traditionellen Notation können Sie nicht nachvollziehen, ob$\vec{\psi}$gehört zum dualen oder regulären Raum - ob$\vec{\psi}$ein Zeilenvektor bzw. ein Spaltenvektor ist. In Standardschreibweise müssten Sie die Komponenten (unendlich viele davon!) ausschreiben, um eine Zeile oder eine Spalte zu demonstrieren.

Die Bra-Ket-Notation ist dort schöner. Die "BHs"$\left \langle \psi \right |$sind duale Vektoren zu den "Kets"$\left | \psi \right \rangle$.

Eine verrücktere und nützlichere Interpretation ist, dass BHs lineare Funktionen und Kets ihre Argumente sind .