Ist ∣1 ⟩∣1 ⟩∣1 \rangle ein Notationsmissbrauch?

Die Notation$\lvert \rangle$soll das andeuten$\lvert \text{anything here you want to put here} \rangle$ist ein Vektor in einem Hilbertraum.

Wenn Sie eine Wellenfunktion haben$\psi(x)$, dann bezeichnet man oft den abstrakten Vektor (statt der konkreten Realisierung in einer Basis wie$\psi(x)$) repräsentiert es durch$\lvert \psi \rangle$.

Wenn Sie nur einen 2D-Raum haben, auf dem Spinoperatoren leben, dann bezeichnen Sie die beiden Eigenzustände von einem von ihnen mit$\lvert \uparrow \rangle$Und$\lvert \downarrow \rangle$.

Was auch immer Sie zwischen die legen$\lvert$und das$\rangle$ist nur eine Markierung, die den Vektor eindeutig identifizieren sollte$\lvert \text{something} \rangle$sollte sein.

Was sie sagen, ist das$|3\rangle$stellt den dritten Energieeigenzustand des Oszillators dar. Also ersetzt es so etwas wie$\psi_3$.

Schreiben$|3\rangle$erfordert Kontext - Sie müssten erklären, dass Sie den n-ten Energie-Eigenzustand des harmonischen Oszillators als nummerieren würden$|n\rangle$bevor Sie diese Notation verwenden. Es ist kein Notationsmissbrauch, es ist einfach nicht sehr selbsterklärend.

Sie könnten auch diese Notation verwenden - der n-te Energie-Eigenzustand des harmonischen Oszillators ist$|N_{energy}^{harm.~osc.} = 3\rangle$, aber es wäre ziemlich langweilig zu schreiben.

Was bedeutet in diesem Fall die 3?

In diesem Fall ist das Zeichen "3" eine bequeme, beschreibende Bezeichnung für den Zustand mit drei vorhandenen Quanten.

Häufig wird ein Eigenzustand mit seinem zugehörigen Eigenwert beschriftet.

Im Fall des harmonischen Oszillators pendelt der Zahlenoperator mit dem Energieoperator (Hamiltonian), sodass ein Zahleneigenzustand auch ein Energieeigenzustand ist.

Somit ist der Zustand mit drei vorhandenen Quanten erfüllt

$$\hat N |3\rangle = 3\,|3\rangle$$

Aber es macht auch satt

$$\hat H |3\rangle = (3 + \frac{1}{2})\hbar \omega\, |3\rangle = \frac{7}{2} \hbar \omega\,|3\rangle$$

Wir wären also berechtigt, diesen Zustand als zu bezeichnen

$$|\frac{7}{2} \hbar \omega\rangle$$

obwohl das nicht typisch ist.

Es ist nur ein Etikett. Die konventionellere Notation verwendet Indizes für denselben Zweck, aber letztere werden unhandlich, wenn Sie ausgefeiltere Qualifizierer benötigen.

Eine besondere Anwendung ist das Etikettieren von Zuständen durch Besetzungszahlen (vgl. zweite Quantisierung ).

In der einführenden Quantenmechanik heißt es immer so$∣ \rangle$ist nichts als eine Notation. Zum Beispiel können wir den Staat bezeichnen$\vec \psi$als$∣\psi \rangle$. Mit anderen Worten, der kleine Pfeil hat sich in ein Ket verwandelt.

Auf Euklidisch$n$-Leerzeichen, wenn ich einen Vektor habe$\mathbf{v}$, kann ich es in Bezug auf eine orthonormale Basis zerlegen$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n\}$:

$$\mathbf{v} = \sum_k \mathbf{e}_k(\mathbf{e}_k\cdot\mathbf{v})\text{,}$$ wo die Zahlen $(\mathbf{e}_k\cdot\mathbf{v})$sind die Bestandteile von $\mathbf{v}$in Bezug auf eine gegebene Grundlage. Wenn statt $\mathbf{e}_k$, Ich schreibe $|k\rangle$und verwenden Sie die Bra-Ket-Notation für das Skalarprodukt, daraus wird $$|v\rangle = \sum_k |k\rangle\langle k|v\rangle\text{.}$$ Also ja, das ist nur eine Notation, aber nicht im Sinne von "kleine Pfeile in Kets verwandeln".

Kann jemand erklären, was es bedeutet, dass ein Skalar in einem Ket ist?

Im Allgemeinen ist es einfach ein Etikett, obwohl die Bedeutung normalerweise spezifischer ist: Es bedeutet, dass wir eine Basis haben, die durch Skalare indiziert ist, und wir wählen diejenige aus, die dem jeweiligen Skalar entspricht.

Im typischen Fall sprechen wir über eine bestimmte Observable und bezeichnen ihre Eigenzustände mit den entsprechenden Eigenwerten ... was genau in Ihrem Zitat vor sich geht (außer ein wenig verschoben): Die Energie-Eigenzustände bilden eine orthonormale Basis. und wir markieren Vektoren auf dieser Basis.

Wenn Sie darüber nachdenken, was für eine Wellenfunktion$\psi(x)$bedeutet (nehmen Sie eine Dimension an), dann werden Sie erkennen, dass es sich tatsächlich um eine Darstellung eines Zustands in einer bestimmten Basis handelt, der Positionsbasis:

$$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle\text{,}$$ Wo $|x\rangle$bedeutet den Zustand der bestimmten Position $x$. Es ist genau dasselbe, mit einer Basis, die durch Skalare indiziert ist, die der Position entsprechen, und es ist implizit in jeder Verwendung einer eindimensionalen Wellenfunktion enthalten. So können wir auch schreiben $$|\psi\rangle = \int |x\rangle\langle x|\psi\rangle\,\mathrm{d}x\text{,}$$ und ähnlich für andere Observable, obwohl wir auf Entartung achten müssen.

Stellt den dritten angeregten Energiezustand durch das Symbol dar$\left\vert 3 \right\rangle$ist sowohl (i) eine etablierte Konvention in der Quantenmechanik als auch (ii) in Ihrem Buch explizit definiert. Die Verwendung von Zahlen als Bezeichnungen ist im gegebenen Kontext eindeutig, also nein, ich würde es nicht als Notationsmissbrauch bezeichnen.

Was Ihren Kommentar zur Notation betrifft$\vec 3$nicht sinnvoll: Obwohl unkonventionell, wäre nichts falsch daran, eine solche Notation zu definieren , wenn Sie Lust dazu hätten. Wenn ein Lehrbuch der linearen Algebra beschließt, die kartesischen Einheitsvektoren zu benennen$\vec 1 \equiv (1,0,0)$,$\vec 2 \equiv (0,1,0)$,$\vec 3 \equiv (0,0,1)$anstatt$\hat{\mathbf x}$,$\hat{\mathbf y}$,$\hat{\mathbf z}$oder$\hat{\mathbf e}_x$,$\hat{\mathbf e}_y$,$\hat{\mathbf e}_z$, dann würde sich nichts Wichtiges ändern. Solange Sie Ihre Notation explizit definieren , können Sie die Mathematik selbst in jeder beliebigen Notation ausdrücken.

Trotzdem bevorzuge ich persönlich die ausführlichere Schreibweise$\left\vert n=3 \right\rangle$für Ket-Vektoren (zumindest in Endergebnissen), da es ausdrücklich darauf hinweist, dass es sich um die Energiequantenzahl handelt$n$das ist gleich drei. Dies vermeidet Verwechslungen mit den ähnlichen Notationen für Impuls-Eigenzustände$\left\vert p\right\rangle$, Positionseigenzustände$\left\vert x \right\rangle$, usw. Es lässt sich auch gut auf Systeme mit mehr Quantenzahlen verallgemeinern, da es einfach ist, verschiedene Darstellungen desselben Zustandsraums (wie z$\left\vert j_1, j_2, m_1, m_2 \right\rangle$Und$\left\vert j_1, j_2, j, m\right\rangle$für den Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems). Es gibt auch andere Konventionen in der Literatur; Einige Autoren verwenden beispielsweise die Notation$\left\vert \psi_3 \right\rangle$oder$\left\vert \phi_3 \right\rangle$für den dritten angeregten Energiezustand.