Dirac-Notation und Spaltendarstellung

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$Beachten Sie, dass Sie ein Tensorprodukt folgendermaßen als Matrix schreiben können:

Wo$A$ist ein$m\times m$Matrix und$B$ist ein$n\times n$Matrix. Beachten Sie, dass die resultierende Matrix a ist$nm\times nm$Matrix. Für den Fall von 2D-Vektoren können Sie die Analogie verwenden und schreiben:

Allgemein kann ein Vektor als Überlagerung dieser Basisvektoren geschrieben werden:

In Ihrem Fall sind einige dieser Koeffizienten zufällig Null, dh

Beachten Sie, dass ich verwendet habe$\ket+ = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$Und$\ket - = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$wegen Ihrer Notation in der Frage, die etwas ungewöhnlich ist.

Hier nehmen$|0\rangle$Und$|1\rangle$als orthonormale Basis für den zweidimensionalen Hilbertraum. Jetzt$|00\rangle ,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$sind orthogonal zueinander (nehmen Sie das innere Produkt von zwei, es wird Null sein, z.$\langle 00|01 \rangle= \langle0|0\rangle \langle 0|1\rangle =0$). Somit kann jeder Vektor eines 4-dimensionalen dimensionalen Hilbert-Raums in Linearkombination dieser 4 Vektoren (Basisvektoren) dargestellt werden, da sie orthogonal zueinander sind. Das heißt, jeder Vektor im 4-dimensionalen Hilbert-Raum kann als angegeben werden$|v\rangle = \sum_{i,j=0,1}\alpha_{ij}|ij\rangle$Wo$\alpha_{ij}$sind einige komplexe Zahlen. Aber das bedeutet nicht, dass jeder Vektor eine Komponente entlang jedem der vier Basisvektoren haben muss. Das ist in deinem Beispiel der Fall, d.h$\alpha_{ij}$kann auch 0 als Werte annehmen. In deinem Beispiel$\alpha_{00}=\alpha_{10}=0$, können Sie Ihren gegebenen Vektor immer schreiben als$0.|00\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|01\rangle +0.|10\rangle+\frac{i}{\sqrt{3}}|11\rangle$. Jetzt$0.|v\rangle$für irgendeinen Vektor$|v\rangle$ist Nullvektor und$|a\rangle+ |\phi\rangle = |a\rangle$für$|a\rangle$sei ein beliebiger Vektor und$|\phi\rangle$Da es sich um einen Nullvektor handelt, müssen Sie sie nicht in Ihren Ausdruck schreiben. Ich hoffe, ich habe Ihre Frage beantwortet.
BEARBEITEN
Sie sollten das Tensorprodukt und seine Eigenschaften nachschlagen. Dennoch kann man das Tensorprodukt in Bezug auf Spaltenmatrizen verstehen. Sagen$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$Und$|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$Tensorprodukt nehmen$|0\rangle \otimes |1\rangle= |01\rangle= \begin{pmatrix} 1* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ 0* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}$
Ähnliches lässt sich für andere Begriffe und allgemein feststellen.