Warum verwenden wir Vektoren in der Quantenmechanik?

Aber in der Mathematik (zumindest soweit ich studiert habe: Highschool-Mathematik mit ein bisschen linearer Algebra und geometrischer Algebra) dreht sich die Definition und Verwendung von Vektoren hauptsächlich um die Tatsache, dass sie Größe und Richtung haben.

Das ist für Sie wahrscheinlich nicht offensichtlich, aber die Schlüsselwörter in diesem Satz sind "ein bisschen" in Bezug auf die lineare Algebra.

In der ausgereiften Mathematik und insbesondere in Bezug auf die lineare Algebra sind Vektoren keine "Dinge, die Größe und Richtung haben". Stattdessen nehmen diese Konzepte hinten im Bus Platz, und wir formulieren dieses Konzept neu als:

Vektoren sind Objekte, die die Vektorraum-Axiome erfüllen .

Dazu gehören Dinge wie Pfeile-mit-einer-Größe-und-einer-Richtung in zwei oder drei Dimensionen, aber – wie sich herausstellt – so ziemlich alles Nützliche, was man über Pfeile-mit-einer-Größe-und-einer-Richtung sagen kann -Richtung folgt direkt aus den Vektorraum-Axiomen (möglicherweise erweitert um den Begriff eines (abstrakten) Skalarprodukts ). Und da Mathematik wirklich gedeihen kann, indem man die Dinge so allgemein wie möglich macht, ohne die Ergebnisse zu opfern, entwickeln wir die Mathematik für Vektoren direkt für Vektorräume (dh alle Objekte, die die Axiome erfüllen ) . Unsere Ergebnisse werden für Pfeile-mit-einer-Größe-und-einer-Richtung, aber auch für eine Vielzahl anderer Objekte nützlich sein.

Was für andere Objekte, fragen Sie? Nun, als kleine Auswahl:

• Pfeile-mit-einer-Größe-und-einer-Richtung, aber in mehr als drei Dimensionen, dh dem Raum$\mathbb R^n$von$n$-N-Tolen von reellen Zahlen. Dem, wenn man genau darüber nachdenkt, in wirklich verständlichen geometrischen Begriffen nicht wirklich eine „Richtung“ zugeordnet werden kann.
• Das gleiche, aber mit komplexen Zahlen:$\mathbb C^n$funktioniert algebraisch ähnlich wie$\mathbb R^n$, also sollten die gleichen Ergebnisse gelten, aber auch hier ist es nicht wirklich als "Pfeil" mit einer "Richtung" interpretierbar.
• Matrizen, dh$\mathbb R^{m\times n}$, die wiederum denselben algebraischen Regeln folgen, mit denselben Axiomen und daher denselben Konsequenzen.
• Unendliche Sequenzen$\mathbb R^\infty = \{(x_1,x_2,\ldots) | x_j \in \mathbb R\}$.
• Funktionenräume , die wiederum den gleichen Axiomen gehorchen, unterliegen also auch den Konsequenzen dieser Axiome.

In Bezug auf die Quantenmechanik arbeiten wir sehr oft in endlichdimensionalen Räumen wie z$\mathbb C^n$, in diesem Fall ist die 'Vektor'-Sprache vielleicht leichter zu verdauen, aber die Sprache, die Sie stört, ist die Verwendung des Begriffs 'Vektor' für etwas, das in einem Funktionsraum lebt, wie beispielsweise

Die Terminologie „Vektor“ hinter einem Quantenzustand ist dadurch gerechtfertigt, dass Quantenzustände Elemente eines Hilbert-Raums sind$\mathcal{H}$(was ein Vektorraum ist).

Das innere Produkt$\langle\psi|\phi\rangle$ist dann das übliche Vektorprodukt im folgenden Sinne. Nehme an, dass$|\phi\rangle\in\mathcal{H}$Und$\langle\psi|\in\mathcal{H}^*$, Wo$\mathcal{H}^*$ist der Vektorraum dual zu$\mathcal{H}$.

$\mathcal{H}^*$besteht aus allen linearen Funktionen$\langle\psi|:\mathcal{H}\to \mathbb{C}$, mit der Eigenschaft, dass:

Das hat mich auch verwirrt, als ich anfing, mich mit QM zu beschäftigen. Die wichtigste Erkenntnis ist in der Tat, dass Sie aufhören müssen, Vektoren als Objekte mit einer Richtung und einem Betrag zu betrachten. Nun, Quantenzustände haben eine Größe (und ich denke, Sie könnten ihnen eine „Richtung“ zuordnen), aber es ist nicht immer sinnvoll, sie so zu betrachten, wie Sie sich Vektoren als Pfeile auf einem Blatt Papier vorstellen würden .

In der von Mathematikern bevorzugten abstrakten Definition ist ein Vektorraum ein Raum von Objekten, die (1) addiert und (2) mit Skalaren multipliziert werden können. Grob gesagt sind dies die einzigen beiden Anforderungen . In der Mathematik beschränkt sich der Begriff eines „Vektors“ keineswegs auf die alltägliche Intuition von Pfeilen, die in eine Richtung zeigen, sondern umfasst allesObjekte, die den oben genannten Anforderungen entsprechen. Sie können viele Vektorräume erfinden, die nichts mit den aus der High School bekannten Gartensortenvektoren zu tun haben; Viele davon sind in der Physik nützlich. Der Grund, all diese als Vektorräume zu betrachten, ist, dass Mathematiker gerne allgemeine Sätze aufschreiben, die für alle Vektorräume im Allgemeinen oder für bestimmte große Unterklassen von Vektorräumen gelten. Dies führt zu einer Vielzahl von Werkzeugen, die jedem zur Verfügung stehen, der sich mit Quantenmechanik beschäftigt.

Der Grund, warum wir Vektorräume verwenden, um Quantenzustände zu beschreiben, ist, dass Quantenzustände in diesem Sinne auch einen Vektorraum darstellen: Man kann sie addieren und mit Skalaren multiplizieren, wie Sie, glaube ich, bemerkt haben. Dass Quantenzustände den Anforderungen für einen Vektorraum genügen, kann man leicht erkennen, indem man mit Wellenfunktionen herumspielt, die in der Ortsbasis ausgeschriebene Quantenzustände sind: Es ist offensichtlich, dass diese addiert und mit einem Skalar multipliziert werden können, obwohl Sie sich oft um die Normalisierung kümmern müssen.

Eine weitere sehr nützliche Idee aus der Theorie der Vektorräume ist die Verwendung einer Basis, bei der es sich um einen Satz von Vektoren handelt, wodurch jeder Zustand als Linearkombination von Basisvektoren ausgedrückt werden kann. Man kann einen Quantenzustand in Positions-Eigenzustände, Energie-Eigenzustände, Impuls-Eigenzustände oder was immer man möchte zerlegen, indem man mathematische Werkzeuge verwendet, die analog zu den sich ändernden Basisvektoren in 3D sind. Die Idee, Matrizen auf Vektoren anzuwenden, ist analog zur Anwendung von Operatoren auf Quantenzustände, und es stellt sich heraus, dass sie auch ähnliche Mathematik beinhaltet.

Der Begriff des inneren Produkts ist eigentlich eine zusätzliche Struktur , die nicht automatisch in jedem Vektorraum enthalten ist. In der QM erweist sich diese zusätzliche Struktur des inneren Produkts auch als sehr nützlich, da sie es erlaubt, die Norm von Zuständen zu nehmen und Erwartungswerte von Operatoren zu berechnen, aber bedenken Sie, dass nicht jeder Vektorraum ein inneres Produkt hat.

Sie sagen, dass "wir diese beiden Schlüsselqualitäten [Größe und Richtung] nicht mit Vektoren in der Quantenmechanik verbinden". Es ist richtig, dass die Größe des Vektors keine Bedeutung hat, aber die Richtung ist sehr wichtig. Es handelt sich nicht um eine "Richtung" im alltäglichen Sinne des Wortes, da es sich nicht um einen 3D-Realvektorraum handelt. Aber es ist normal in der Mathematik zu verwenden$n$-dimensionale Vektorräume, auch komplexe Vektorräume, und nennen die Objekte immer noch "Vektoren".

Anders ausgedrückt, der beste Weg, einen Quantenzustand zu beschreiben, ist als Richtung in einem abstrakten Vektorraum. Richtungen werden üblicherweise als normalisierte Vektoren in diesem Raum dargestellt, das tun wir in der Quantenmechanik.

Sie sollten sich mehr mit linearer Algebra befassen. In der linearen Algebra wird der Begriff eines Vektors wesentlich abstrakter: Insbesondere sind Vektoren einfach beliebige Objekte, bei denen wir eine Vorstellung davon haben, zwei davon zu addieren sowie mit einer Zahl (einem Skalar) zu multiplizieren, die natürlich auch bestimmte bekannte Grundprinzipien der Arithmetik wie Kommutativität und Assoziativität erfüllen, die Sie bereits aus Ihrem Algebra-Hintergrund kennen sollten. Dies leitet sich natürlich letztendlich aus dem Kontext "Euklidischer Vektor" ab, dh "Pfeile vom Ursprung", die Sie verlängern und verkürzen und zusammenfügen können, indem Sie ihren Schwanz an ihre Spitze legen und das Parallelogramm bilden, ist aber erheblich allgemeiner, weil es gibt viele andere Dinge, die auch auf diese Weise funktionieren, wie Funktionen und sogar Matrizen selbst.

Der Grund dafür in der Quantenmechanik ist, dass Sie in der Lage sein wollen, Überlagerungen zu bilden – das ganze Geschäft mit „Schrödingers Katze“, das auf der Quantenskala absolut grundlegend und gründlich ist.

Es wäre vielleicht am besten, durch eine Art mathematische Konstruktion eines einfachen Vektorraums zu gehen, wie er in der Quantenmechanik verwendet wird, um zu verstehen, was vor sich geht.

Wir beginnen natürlich mit einer leeren Menge,$S := \emptyset$. Nun fügen wir in diese Menge zwei Elemente ein, die wir bezeichnen werden$|\mbox{live cat}\rangle$Und$|\mbox{dead cat}\rangle$. Diese beiden Dinge sind "primitive" Objekte - Sie sollten nicht versuchen, sie als etwas mit einem "Wert" zu betrachten, den Sie "evaluieren" können. Dies ist ein häufiger Fehler in der Mathematik; Wir sind so daran gewöhnt, sagen wir, die Dezimalerweiterung einer reellen Zahl zu nehmen und in unseren Gedanken zu assoziieren, dass dies die „Wahrheit“ „hinter“ einem Symbol ist$\pi$, zum Beispiel, wenn es in Wirklichkeit nicht mehr oder weniger "Wahrheit" hat als etwas anderes, das gleichwertig ist, wie$4\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \cdots\right)$, dh Madhavas Reihe - und wenn überhaupt, ist letztere aufgrund ihres einfachen Musters eine weitaus bevorzugtere Darstellung als die Dezimalzahl! Vielmehr sind es nur zwei Objekte, wenn Sie mögen, steht die "Bedeutung" dahinter, was auf dem Etikett steht. Was Sie hier tun müssen, ist die Tendenz, Dinge zu "kalkulieren", zu vergessen.

Aber natürlich brauchen wir mehr. Was passiert, wenn die Box geschlossen ist? Wir brauchen so etwas wie$|\mbox{live cat}\rangle + |\mbox{dead cat}\rangle$. Sie wissen, was das ist. Also fügen wir das hinzu$S$sowie.

Wir können jedoch auch andere Kombinationen möglich haben. Zum einen haben wir die Notwendigkeit erwähnt, Vektoren neu zu skalieren, also z$|\mbox{live cat}\rangle$wir sollten auch alle Skalierungen davon zum Set hinzufügen:$\alpha |\mbox{live cat}\rangle$für eine komplexe Zahl$\alpha$. Diese machen physikalisch nichts, aber sie werden wichtig, weil sie es uns ermöglichen, die Kombinationen in einer Überlagerung zu gewichten. Wir können das gleiche für$|\mbox{dead cat}\rangle$sowie. Wenn Sie all dies durchgehen und verschiedene Summen berücksichtigen, z$|\mbox{live cat}\rangle + 2|\mbox{dead cat}\rangle + (i|\mbox{dead cat}\rangle - [35 - \tau i]\mbox{live cat}\rangle)$usw. und verwenden Sie die Gesetze der Arithmetik wie Assoziativität und das Kombinieren gleicher Terme, um sie zu vereinfachen (da Sie dazu in der Lage sein müssen, um als abstrakter Vektorraum Sinn zu machen), sehen Sie schnell, dass jedes Element im Allgemeinen etwas sein sollte wie

und wir können all diese zusammen betrachten und in die Menge aufnehmen$S$, als Definition des Vektorraums für dieses System, der alle möglichen Möglichkeiten enthält, wie Schrödingers Katze überlagert werden kann, einschließlich der klassischen Lebend-/Tot-Zustände und aller "eigentümlichen" Zustände, und wir können jeden von ihnen auf beliebige Weise überlagern. Wenn wir diese Fähigkeit nicht hätten, könnten wir dieses System oder irgendein anderes Quantensystem nicht verstehen.