Warum wird die Eigenschaft "vollständiger metrischer Raum" von Hilbert-Räumen in der Quantenmechanik benötigt?

Wenn Sie nur eine endliche Anzahl rationaler Zahlen hätten, könnten Sie sie endlich oft addieren und unendlich oft multiplizieren, ohne sich Gedanken darüber zu machen, ob$\pi$war eine rationale Zahl. Und insbesondere müssten Sie sich keine Gedanken darüber machen, ob es eine Zahl gibt, gegen die 3, 3,1, 3,14, ... usw. konvergieren.

Sie könnten die Quantenmechanik auf die gleiche Weise betreiben, wenn Sie immer nur eine endliche Anzahl von Zustandsvektoren hätten und nur innere Produkte davon und Summen davon und skalare Vielfache davon nehmen würden, müssten Sie sich nie um Vollständigkeit sorgen, weil Sie würde mich nicht darum kümmern, ob$3|\Phi_0\rangle$,$3|\Phi_0\rangle+0.1|\Phi_1\rangle$,$3|\Phi_0\rangle+0.1|\Phi_1\rangle+0.04|\Phi_2\rangle$, ... konvergiert (wo alle$|\Phi_n\rangle$sind zueinander orthogonal).

Wenn Sie also wissen, dass Sie nur mit einigen bestimmten Lösungen für eine bestimmte Gleichung arbeiten werden, brauchen Sie es absolut nicht. Und das deckt einiges ab. Wenn jedes realistische Experiment nur eine endliche Anzahl von Zuständen zuverlässig unterscheiden kann, dann können Sie für jeden bestimmten experimentellen Aufbau eine Theorie aufstellen, die die Wahrscheinlichkeit für jedes experimentell beobachtbare Ergebnis korrekt und angemessen vorhersagt. Das ist also völlig egal, wie viel es ist. Es ist wichtig, wenn Sie über eine ganze Reihe immer besserer Experimente sprechen wollen, wenn Sie jedes Mal einen neuen theoretischen Aufbau machen müssen, der lästig werden könnte, wenn Sie also einen Mathematiker sagen hören, dass Sie ein System aufbauen und alle finden können Ihre Antworten dort, der Reiz liegt vielleicht auf der Hand, vorausgesetzt, Sie vertrauen dem Mathematiker.

So ist es historisch nicht passiert. Wenn Sie die kanonischen Kommutatoren annehmen$[x,p]=i\hbar$und betrachten Sie die ursprüngliche Heisenberg-Matrix-Mechanik, eine unendliche Basis ist erforderlich, wenn Sie alle normalen Dinge annehmen wollen. Es ist jedoch nicht ratsam, eine Hypothese, die Sie zum Generieren experimenteller Vorhersagen verwenden, mit den tatsächlichen Werkzeugen zu verwechseln, die Sie verwenden, um die tatsächlichen Vorhersagen zu treffen. In den frühen Tagen versucht man, etwas über eine neue Art zu lernen, Dinge zu tun, die anders ist als das eigentliche Tun.

Aber wir brauchen keinen Zustand, auf den ein ganzer Haufen verschiedener Versuchsanordnungen zusammenläuft. Wenn Sie im Labor oder in der Natur einen Zustand herstellen können, machen Sie es und machen Sie es zu einem der endlich vielen. Wenn Sie es nicht schaffen, seien Sie ehrlich und erkennen Sie, dass es sich bestenfalls um eine Berechnungshilfe handelt: nicht um eine experimentell realisierte Einrichtung, ein Ergebnis oder einen Prozess.

Mathematiker mögen Vollständigkeit, und sie kann nützlich sein, um über Quantenmechanik zu sprechen, also sollten Sie sie wahrscheinlich lernen. Endlich dimensionale innere Produkträume sind bereits vollständig, es ist also nicht so, dass Sie mit unvollständigen Räumen herumlaufen.

Alle Skalarprodukträume haben eine Metrik, die durch das Skalarprodukt bestimmt wird, es wird nur erwähnt, weil Vollständigkeit eine Eigenschaft der Metrik ist, dh sie ist vollständig in Bezug auf diese Metrik.

Ein vollständiger Raum bedeutet die Idee, für jeden Vektor eine und nur eine Darstellung zu haben$\mathbf{x}$Raum$\mathfrak{h}$, als$\mathbf{x} = \sum_i a_i \mathbf{e}_{i}$($i = 1, 2, ...$) mit eindeutigen Koeffizienten$a_i$und orthonormale Vektoren$\mathbf{e}_i$In$\mathfrak{h}$. In der Quantenmechanik$\mathbf{e}_i$werden oft die Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators sein$\hat{T}$(mit$\hat{T} e_i = q_i \mathbf{e}_i$) mit Eigenwerten$q_i$. Falls$\hat{T} = \hat{H}$(Energieoperator = Hamiltonoperator) eines Systems,$q_i$werden die Energieniveaus eines Systems sein.