Wie wendet man einen algebraischen Operatorausdruck auf ein Ket aus Diracs QM-Buch an?

Ich habe versucht, die Quantenmechanik von einem formalen Standpunkt aus zu lernen, also habe ich Diracs Buch zur Hand genommen. In der vierten Auflage, Seite 33, ab hier:

ξ | ξ ' ⟩ = ξ ' | ξ ' ⟩
(Wo ξ ist ein linearer Operator und alle anderen ξ ' s sind eigen-(value|ket)s.)

,und das:

ϕ ( ξ ) = A 1 ξ N + A 2 ξ N − 1 ⋯ A N = 0
(Wo ϕ ist ein algebraischer Ausdruck) Er hat abgeleitet
ϕ ( ξ ) | ξ ' ⟩ = ϕ ( ξ ' ) | ξ ' ⟩

Ich verstehe, dass die LHS ein linearer Operator ist, der auf ein Ket wirkt, während die RHS ein Ket multipliziert mit einer Zahl ist.

Was ich nicht verstehe ist, wie der Schritt gerechtfertigt ist. Er scheint sich beworben zu haben ϕ zu beiden Seiten. Aber sollte das nicht geben

ϕ ( ξ | ξ ' ⟩ ) = ϕ ( ξ ' | ξ ' ⟩ )
?

Dieser Ausdruck macht so wie er ist keinen Sinn, da ich bezweifle, dass Sie einen algebraischen Ausdruck auf ein Ket anwenden können (ich bin mir dessen nicht sicher, aber für mich | A ⟩ 2 &c macht keinen Sinn, da ich nicht glaube, dass man ein Ket mit einem Ket multiplizieren und ein weiteres Ket erhalten kann)

Wie hat er den Ausdruck hergeleitet?

Der Kontext: Dirac beweist, dass dies ein Eigenwert ist ξ ' von ξ befriedigen muss ϕ ( ξ ' ) = 0 Wenn ϕ ( ξ ) = 0 .

Oh (Sie müssen dies nicht beantworten, wenn Sie nicht möchten), und gibt es einen Grund dafür, dass Dirac die verwirrende Notation einführt, dass Eigen-Was auch immer eines Operators mit demselben Symbol bezeichnet werden sollte? Üblicherweise verwenden unterschiedliche Arten von Variablen (z. B. Matrizen, Vektoren, Zahlen) unterschiedliche Klassen von Symbolen (Großbuchstaben, Buchstaben mit Überstrichen bzw. Kleinbuchstaben).

Haben Sie die Möglichkeit eines Tippfehlers in Betracht gezogen?
@AntillarMaximus, es ist kein Tippfehler, nur eine verwirrende Notation, die wie onr aussieht

Antworten (4)

ξ | ξ ' ⟩ = ξ ' | ξ ' ⟩
So
ξ 2 | ξ ' ⟩ = ξ ' 2 | ξ ' ⟩
Wenn Sie so weitermachen, sehen Sie, dass Sie jede Kraft anwenden ξ Zu | ξ ' ⟩ multipliziert sich einfach | ξ ' ⟩ von ξ ' zu dieser Kraft

Also jede Potenzsumme von ξ angewendet | ξ ' ⟩ endet nur multipliziert | ξ ' ⟩ durch dieses Polynom in ξ '

Wahrscheinlich verwirren Sie die Notationen. Was Sie haben, ist ein Operator A und ein Eigenvektor v mit Eigenwert λ . Wenn ϕ ( X ) = C N X N + C N − 1 X N − 1 + ⋯ + C 0 . Dann v ist ein Eigenvektor für den Operator ϕ ( A ) mit Eigenwert ϕ ( λ ) .

Der Kern der Frage von OP (v1) scheint der folgende zu sein.

Was macht A ^ 2 | ψ ⟩ bedeuten? Bedeutet es zB A ^ | ψ ⟩ ⊗ A ^ | ψ ⟩ ?

Antwort: Nein, es ist definiert als A ^ ( A ^ | ψ ⟩ ) .

Eigentlich hatte ich diesen Teil verstanden :p.
Nun, ich denke immer noch, dass dies das Kernproblem ist. Der Rest ist nur einfache Manipulation mit Eigenvektoren, Eigenwerten usw.
Der 'geradlinige' Teil ist nicht so einfach, wenn Sie neu in diesem Zeug sind = P. Das Gleiche-Symbol-für-Eigenzeug verbindet sich mit der Tatsache, dass all diese Variablen keine konkrete Bedeutung (ich habe diesen Teil noch nicht erreicht) oder Visualisierung haben. Ich betrachte sie gerne als Matrizen, aber ihre Manipulation ist immer noch etwas verwirrend.

Der Betreiber ξ ^ wirkt auf den Eigenvektor | ξ ' ⟩ ein einfaches Vielfaches geben, ξ ^ | ξ ' ⟩ = ξ ' | ξ ' ⟩ . Daher der Betreiber ξ ^ 2 wirkt auf denselben Eigenvektor (von ξ ^ ) geben ξ ^ 2 | ξ ' ⟩ = ξ ^ ξ ' | ξ ' ⟩ = ( ξ ' ) 2 | ξ ' ⟩ . Mit anderen Worten, | ξ ' ⟩ ist ein Eigenvektor von ξ ^ 2 mit Eigenwert ( ξ ' ) 2 . Alle Polynomfunktionen eines einzelnen Operators haben denselben Satz von Eigenvektoren mit Eigenwerten, die durch diese Funktion bestimmt werden, die mit Einschränkungen auf alle Funktionen erweitert werden kann.

Ja, die Notation | ξ ' ⟩ kann problematisch sein, aber sorgfältige Definitionen machen es handhabbar.

Wie wendet man einen algebraischen Operatorausdruck auf ein Ket aus Diracs QM-Buch an?
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