Inneres Produkt: Operation zwischen Vektoren aus demselben Vektorraum oder zwischen Vektoren aus einem Vektorraum und seinem dualen Raum (Bsp.: Bras und Kets)?

Das innere Produkt ist eine Karte

die zwei Vektoren eines Vektorraums sendet$\mathcal{H}$(in der QM ist das eigentlich nicht nur ein Vektorraum, sondern sogar ein Hilbertraum) zu den komplexen Zahlen. In physikalischer Notation sind Vektoren in$\mathcal{H}$werden oft in Bra-Ket-Notation als Ket geschrieben$|\psi \rangle$. Ein Grund dafür ist, sie von "normalen" endlichdimensionalen Vektoren zu unterscheiden, die mit einem Pfeil oben geschrieben sind. Der Punkt ist, dass Vektoren im Hilbert-Raum abstrakte Objekte sind, sie unterscheiden sich von (aber oft äquivalent zu) einer Menge von Zahlen$(\psi_1,\psi_2,...)$die in gewisser Weise die Darstellung dieses Vektors sind.

Ein "BH-Vektor" ist eine Karte

die Vektoren im Hilbert-Raum an die komplexen Zahlen sendet, wobei das zuvor definierte innere Produkt verwendet wird. Hier,$\alpha$ist irgendein Vektor$\in \mathcal{H}.$In der Tat die Karten$\alpha^\star$(Lesen Sie das als einzelnes Objekt, nicht als$\alpha$komplex konjugiert) eigentlich auch aus einem Vektorraum, da man sie addieren und mit einer Zahl multiplizieren kann, weshalb sie auch als BH-Vektoren bezeichnet werden. Jeder BH-Vektor entspricht auch eindeutig einem Vektor in$\mathcal{H}$(es besteht ein Isomorphismus zwischen den beiden Vektorräumen), weshalb wir sowohl die Abbildung als auch den entsprechenden Ket-Vektor im Skalarprodukt mit bezeichnen können$\alpha$.

• Zusammenfassend ist das innere Produkt innerhalb eines Vektorraums dasselbe wie das innere Produkt zwischen BHs und Kets, oder verwechsle ich zwei verschiedene Ideen?

Ja, es ist im Wesentlichen dasselbe. Gegeben zwei Kets$|f>$,$|g>$, definieren wir das Skalarprodukt$<f|g>$, und dies ermöglicht es uns, den dualen Raum der BHs als den Raum der funktionalen Funktionen auf dem Ket-Raum zu definieren

Ein Wort der Vorsicht jedoch. Dies funktioniert nur wirklich für den endlichdimensionalen inneren Produktraum. Für den endlichdimensionalen Hilbert-Raum ist klar, dass zwischen Bras und Kets ein (Anti-)Isomorphismus besteht (Anti- bezieht sich auf komplexe Konjugation). Der Riesz-Darstellungssatz erweitert dieses Ergebnis auf den unendlichdimensionalen Hilbert-Raum (Vollständigkeit ist erforderlich). Allgemeiner kann es für einen unendlichdimensionalen Vektorraum Funktionale oder BHs im dualen Raum geben, die nicht Kets entsprechen, und es kann Kets geben, so dass keine entsprechende Funktion gemäß einem inneren Produkt definiert ist.

Wenn Sie einen unendlich dimensionalen Raum haben (wie wir es normalerweise in qm tun), dann können Sie davonkommen, so zu tun, als ob es die meiste Zeit funktioniert, auch wenn es nicht so ist. Zum Beispiel geben wir vor , dass wir einen Hilbert-Raum haben, der von Positionszuständen aufgespannt wird$|x>$, sondern das innere Produkt$<x|y>$ist eine Deltafunktion. Wir geben vor, dass dies alles in der Verteilungstheorie behandelt wird, aber eigentlich ist es das nicht. Es gibt strenge Einschränkungen in der Theorie der Verteilungen. Soweit es die gewöhnliche Quantenmechanik betrifft, sind mir keine ernsthaften Probleme bekannt, aber in der relativistischen Quantenmechanik gibt es schwerwiegende Probleme, die zu Abweichungen in qed führen. Letztendlich bedeutet dies, dass es keine mathematische Definition von Quantenfeldern gibt, wie sie allgemein in der Quantenfeldtheorie verwendet wird.

Ich habe diese Probleme in A Construction of Full QED Using Finite Dimensional Hilbert Space angesprochen . Auch in Light After Dark III: The Mathematics of Gravity and Quanta , in dem ich eine mathematisch strenge Behandlung gebe.