Bedeutung des Kronecker-Produkts in der Quantencomputing

Das "Kronecker-Produkt", besser bekannt als Tensorprodukt , ist der natürliche Begriff eines Produkts für Zustandsräume, wenn diese richtig betrachtet werden:

Ein Zustandsraum ist kein Hilbertraum$\mathcal{H}$, sondern der projektive Hilbertraum $\mathbb{P}\mathcal{H}$damit verbunden. Dies ist die Aussage, dass Quantenzustände Strahlen in einem Hilbert-Raum sind .

Warum entspricht nun die physikalische Vorstellung, die Zustandsräume einzelner Systeme zu einem Zustandsraum des kombinierten Systems zu kombinieren, der Bildung des Tensorprodukts? Der Grund dafür ist, dass wir wollen, dass jede Aktion eines Operators (die lineare Abbildungen sind) auf die einzelnen Zustände eine Aktion auf den kombinierten Zustand definiert – und das Tensorprodukt ist genau das, da für jedes Paar linearer Abbildungen$T_i : \mathcal{H}_i \to \mathcal{H}$(Das ist eine bilineare Karte$(T_1,T_2) : \mathcal{H}_1 \times \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$) gibt es eine eindeutige lineare Abbildung$T_1 \otimes T_2 : \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$.

Alternativ können wir dies beobachten, indem wir uns mehr auf die projektive Natur der Räume von Zuständen konzentrieren$\lvert \psi \rangle$Und$a \lvert \psi \rangle$sind für alle gleich$a \in \mathbb{C}$. Daher wird das gesuchte physikalische Produkt mit bezeichnet$\otimes$(dh nicht vorausgesetzt, es handelt sich um das Tensorprodukt), müssen wir das fordern

$$\lvert \psi \rangle \otimes \lvert \phi \rangle = (a\lvert \psi \rangle) \otimes \lvert \phi \rangle = a (\lvert \psi \rangle \otimes \lvert \phi \rangle)$$ da die Staaten von produziert $\lvert \psi \rangle$Und $a\lvert \psi \rangle$müssen den gleichen Zustand ergeben, dh auf den gleichen projektiven Zustand abgebildet werden. Dies versagt offensichtlich für das kartesische Produkt, da das Paar $(a\lvert \psi \rangle,\lvert \phi \rangle)$kein Vielfaches des Paares ist $(\lvert \psi \rangle,\lvert \phi \rangle)$, aber es gilt für das Tensorprodukt.

Die Antwort von ACuriousMind hat die Gründe, die im Wesentlichen mathematisch sind, ziemlich genau zusammengefasst.

Wenn Sie die "physikalische Bedeutung" begreifen wollen, dann schlage ich vor, dass Sie ein Beispiel durcharbeiten: Denken Sie an zwei Quantensysteme mit jeweils drei Grundzuständen:$\left.\left|1\right.\right>$,$\left.\left|2\right.\right>$Und$\left.\left|3\right.\right>$. Die Menge der linearen Überlagerungen in einem dieser Quantenräume ist die Menge der Einheitsgrößenvektoren der Form$\alpha_1\,\left.\left|1\right.\right>+\alpha_2\,\left.\left|2\right.\right>+\alpha_3\,\left.\left|3\right.\right>$, Wo$\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2=1$. Ihre Zustände werden sein$3$-Komponentenvektoren und sie leben in dreidimensionalen Räumen.

Wenn wir nun diese beiden Systeme kombinieren, kombinieren sich die Basiszustände nicht in einem kartesischen Produkt, um einen sechsdimensionalen Raum zu ergeben. Nein, einzeln bleibt jedes Quantensystem in seinem eigenen Raum, der von aufgespannt wird$\{\left.\left|1\right.\right>, \,\left.\left|2\right.\right>,\, \left.\left|3\right.\right>\}$während der andere in jedem Zustand in seinem eigenen Raum sein kann, der von seinen eigenen Versionen von überspannt wird$\{\left.\left|1\right.\right>, \,\left.\left|2\right.\right>,\, \left.\left|3\right.\right>\}$.

Also mit System 1 im Zustand$\left.\left|1\right.\right>$, System 2 kann sich in jedem Zustand des Formulars befinden$\alpha_1\,\left.\left|1\right.\right>+\alpha_2\,\left.\left|2\right.\right>+\alpha_3\,\left.\left|3\right.\right>$. Also die Menge der kombinierten Quantenzustände, in denen sich System 1 befindet$\left.\left|1\right.\right>$ist ein dreidimensionaler Vektorraum. Ein anderer dreidimensionaler Vektorraum kombinierter Zustände entsteht, wenn sich System 1 im Zustand befindet$\left.\left|2\right.\right>$mit System 2 in einem beliebigen$\alpha_1\,\left.\left|1\right.\right>+\alpha_2\,\left.\left|2\right.\right>+\alpha_3\,\left.\left|3\right.\right>$Zustand. Ebenso für die Menge der kombinierten Zustände mit System 1 im Zustand$\left.\left|3\right.\right>$.

Unser kombiniertes System hat also neun Basiszustände: Es ist ein Vektorraum mit 9 Dimensionen, nicht 6. Schreiben wir unsere Basiszustände für den Moment als$\left.\left|i,\,j\right.\right>$, was System 1 im Grundzustand bedeutet$i$, System 2 im Grundzustand$j$. Schreiben Sie nun eine Überlagerung dieser Zustände als neundimensionalen Spaltenvektor, der als drei Dreiergruppen gestapelt ist: Die ersten 3 Elemente sind die Überlagerungsgewichte der$\left.\left|1,\,j\right.\right>$, die nächsten 3 die Gewichte von$\left.\left|2,\,j\right.\right>$und die letzten drei die Gewichte der$\left.\left|3,\,j\right.\right>$. Dies ist, was eine Matrixdarstellung eines allgemeinen kombinierten Zustands sein wird.

Angenommen, wir haben einen linearen Operator$T_1$der allein auf das erste System einwirkt, und einen linearen Operator$T_2$das wirkt allein auf die zweite. Diese Operatoren haben die einzelnen Zustände$3\times 3$Matrizen. Dann hat ein Bediener auf dem kombinierten System a$9\times 9$Matrix. Bilden Sie das Matrix-Kronecker-Produkt$T_1\otimes T_2$, dann ist dies die Matrix des Operators, der dasselbe vermittelt$T_1$zu den dreien$\left.\left|i,\,1\right.\right>$Komponenten, die drei$\left.\left|i,\,2\right.\right>$Komponenten und die drei$\left.\left|i,\,3\right.\right>$Komponenten und vermittelt diese ebenfalls$T_2$zu den dreien$\left.\left|1,\,j\right.\right>$Komponenten, die drei$\left.\left|2,\,j\right.\right>$Komponenten und die drei$\left.\left|3,\,j\right.\right>$Komponenten. Das meint ACuriousMind , wenn er sagt:

Wir wollen, dass jede Aktion eines Operators (die lineare Karten sind) auf die einzelnen Zustände eine Aktion auf den kombinierten Zustand definiert - und das Tensorprodukt ist genau das, da für jedes Paar linearer Karten$T_i : \mathcal{H}_i \to \mathcal{H}$(Das ist eine bilineare Karte$(T_1,T_2) : \mathcal{H}_1 \times \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$) gibt es eine eindeutige lineare Abbildung$T_1 \otimes T_2 : \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$.

Ich arbeite in meiner Antwort hier ein weiteres ausführliches Beispiel für zwei gekoppelte Oszillatoren durch .