Wie sieht die partielle Transponierung in Matrixform aus?

Ein Operateur$M$Wirkung auf einen Vektorraum$V_A \otimes V_B$kann zerlegt werden als:$M = \sum_{ij} c_{ij} A^{(i)} \otimes B^{(i)}$mit$A^{(i)}$Einwirken auf$V_A$Und$B^{(j)}$Einwirken auf$V_B$. Verwenden von Matrizen zum Bezeichnen$M$,$A^{(i)}$Und$B^{(i)}$:

$$M = \sum_{ij} c_{ij} \left( \begin{array}{ccc} a^{(i)}_{11} B^{(i)} & a^{(i)}_{12} B^{(i)} & \cdots \\ a^{(i)}_{21} B^{(i)} & a^{(i)}_{22} B^{(i)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array} \right)$$

Dann sind die partiellen Transpositionen:

$$M^{T_A} = \sum_{ij} c_{ij} \left( \begin{array}{ccc} a^{(i)}_{11} B^{(i)} & a^{(i)}_{21} B^{(i)} & \cdots \\ a^{(i)}_{12} B^{(i)} & a^{(i)}_{22} B^{(i)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array} \right) \\ M^{T_B} = \sum_{ij} c_{ij} \left( \begin{array}{ccc} a^{(i)}_{11} (B^{(i)})^T & a^{(i)}_{12} (B^{(i)})^T & \cdots \\ a^{(i)}_{21} (B^{(i)})^T & a^{(i)}_{22} (B^{(i)})^T & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array} \right)$$

In Bra-Ket-Notation, wenn die Matrix$M$liest

$$M=\sum_{ijkl}M_{ij,k\ell} \lvert i,j\rangle\!\langle k,\ell\rvert\equiv \sum_{ijkl}M_{ij,k\ell} (\lvert i\rangle\!\langle k\rvert\otimes\lvert j\rangle\!\langle \ell\rvert),$$ dann ist seine partielle Transponierung in Bezug auf den zweiten Raum $$M^{T_B}= \sum_{ijkl}M_{ij,k\ell} (\lvert i\rangle\!\langle k\rvert\otimes\lvert \ell\rangle\!\langle j\rvert).$$

Äquivalent dazu die partielle Transponierung$M^{T_B}$ist diese Matrix mit Komponenten

$$\big(M^{T_B}\big)_{ij,k\ell}=M_{i\ell,kj}.$$