Wie nehme ich eine Teilspur?

Question

Wie nehme ich eine Teilspur?

Befürworter von niemandem

$L$ ist ein linearer Operator, der auf den Hilbert-Raum wirkt $V$ von Dimension $n$ , $L: V \to V$ . Die Spur eines linearen Operators ist definiert als Summe diagonaler Einträge einer beliebigen Matrixdarstellung in derselben Eingabe- und Ausgabebasis $V$ . Aber falls $L$ ist ein linearer Operator, der auf wirkt $V \otimes V$ und ich möchte das erste/zweite System teilweise verfolgen , macht es für mich Sinn, wenn der Operator in Dirac-Notation ausgedrückt wird , z. B. ein linearer Operator, der wirkt $H \otimes H$ wo $H$ ist ein 2-dimensionaler Hilbert-Raum in Dirac-Notation

L_{EIN B} = | 01 ⟩ ⟨ 00 | + | 00 ⟩ ⟨ 10 |

$L_{AB} = |01\rangle \langle 00 | +|00\rangle \langle 10 |$

t r_{EIN} (L_{EIN B}) = | 1 ⟩ ⟨ 0 |

$tr_A(L_{AB})=|1\rangle \langle 0 |$

t r_{B} (L_{EIN B}) = | 0 ⟩ ⟨ 1 |

$tr_B(L_{AB})=|0\rangle \langle 1 |$ hier

{| 0 ⟩, | 1 ⟩}

$\{|0\rangle , |1\rangle \}$ ist eine orthonormale Basis für

H

$H$ . Aber wie wird die Teilspur gefunden und in Bezug auf die Matrixdarstellung des linearen Operators definiert? Muss die Eingabe- und Ausgabebasis gleich sein, um eine Teilspur ähnlich der Definition einer Spur zu definieren?

QMechaniker

Mehr zu Teilspuren .

Antworten (2)

Wie nehme ich eine Teilspur?

Nichttrivialität · Answer 1

Um die Teilspur zu nehmen, müssen Sie die Summe über die Matrixelemente bzgl. der gleichen Eingabe- und Ausgabebasis bilden, wie Sie sie wahrscheinlich bereits verwendet haben, um die von Ihnen angegebenen Teilspuren zu berechnen. In der Dirac-Notation wird dies oft geschrieben als:

t r_{EIN} (L_{EIN B}) = \sum_{ich} ⟨ ich |_{EIN} L_{EIN B} | ich ⟩_{EIN} = ⟨ 0 | 0 ⟩ ⟨ 0 | 0 ⟩ (| 1 ⟩ ⟨ 0 |)_{B} + ⟨ 1 | 0 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ {(| 0 ⟩ ⟨ 0 |)}_{B} = (| 1 ⟩ ⟨ 0 |)_{B}

$tr_A(L_{AB}) =\sum_i \langle i|_A L_{AB} |i\rangle_A=\langle0|0\rangle\langle 0|0\rangle (|1\rangle\langle0|)_B+\langle1|0\rangle\langle 1|1\rangle \left(|0\rangle\langle0|\right)_B\\ =(|1\rangle\langle0|)_B$

Diese Notation impliziert, dass Sie den Teil des Operators, der auf das Leerzeichen B wirkt, unberührt lassen. Im Prinzip multiplizieren Sie die quadratische Matrix mit rechteckigen Matrizen, um eine kleinere Matrix zu erhalten:

t r_{EIN} (L_{EIN B}) = \sum_{ich} [(⟨ ich | \otimes ich d) L_{EIN B} (| ich ⟩ \otimes ich d)]

$tr_A(L_{AB})=\sum_i [(\langle i|\otimes id)L_{AB}(|i\rangle\otimes id)]$ Wenn Sie an Matrizen denken möchten, stellen Sie die Tensorprodukte einfach über Kronecker-Produkte dar :

t r_{EIN} (L_{EIN B}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$tr_A(L_{AB})= \left(\array{1&0&0&0\\0&1&0&0}\right)\cdot \left(\array{0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0} \right)\cdot \left( \array{1&0\\0&1\\0&0\\0&0}\right)=\left(\array{0&0\\1&0} \right)$ (Ich habe nur den überlebenden Begriff geschrieben (wo

i = 0

$i=0$ ).)

Allgemein, $t r_{EIN} (L_{EIN B}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot L_{EIN B} \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot L_{EIN B} \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ $tr_A(L_{AB})= \left(\array{1&0&0&0\\0&1&0&0}\right)\cdot L_{AB}\cdot \left( \array{1&0\\0&1\\0&0\\0&0}\right) + \left(\array{0&0&1&0\\0&0&0&1}\right)\cdot L_{AB} \cdot \left( \array{0&0\\0&0\\1&0\\0&1}\right) =\left(\array{0&0\\1&0} \right)$
Und $t r_{B} (L_{EIN B}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot L_{EIN B} \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot L_{EIN B} \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ $tr_B(L_{AB})= \left(\array{1&0&0&0\\0&0&1&0}\right)\cdot L_{AB}\cdot \left( \array{1&0\\0&0\\0&1\\0&0}\right) + \left(\array{0&1&0&0\\0&0&0&1}\right)\cdot L_{AB} \cdot \left( \array{0&0\\1&0\\0&0\\0&1}\right) =\left(\array{0&1\\0&0} \right)$

Kind des Saturn · Answer 2

Lassen $H_A \otimes H_B$ Seien Sie Ihr Hilbert-Raum, und $O$ Sei ein Operator, der auf diesen zusammengesetzten Raum wirkt. Dann $O$ geschrieben werden kann

Ö = \sum_{ich, j} c_{ich j} M_{ich} \otimes N_{j}

$O = \sum_{i,j} c_{ij} M_i \otimes N_j$ bei dem die

M_{i}

$M_i$ 's und

N_{j}

$N_j$ 's handeln auf

H_{A}

$H_A$ und

H_{B}

$H_B$ bzw. Dann ist die Teilspur vorbei

H_{A}

$H_A$ definiert als

t r_{H_{EIN}} (Ö) = \sum_{ich, j} c_{ich j} t r (M_{ich}) N_{j},

$tr_{H_A}(O) = \sum_{i,j} c_{ij} tr(M_i) N_j ,$ und ähnlich für

H_{B}

$H_B$ .

Wie nehme ich eine Teilspur?

Befürworter von niemandem

QMechaniker

Antworten (2)

Nichttrivialität

Eden Harder

Eden Harder

Kind des Saturn

Trace in nicht orthogonaler Basis?

Bedeutung des Kronecker-Produkts in der Quantencomputing

Hat jemand ein Beispiel für ein Zwei-Qubit-Nicht-Pauli- und ein Nicht-Clifford-Quantentor?

Wenn B1, B2B1, B2B_1, B_2 und B2, B3B2, B3B_2, B_3 MUBs sind, können wir dann schlussfolgern, dass entweder B1, B3B1, B3B_1, B_3 MUBs sind oder dass sie äquivalente Hadamard-Matrizen haben?

Spur einer Operatormatrix (Quantencomputing und Quanteninformation)

Wann ist ein Operatorunterraum die Spannweite von Kraus-Operatoren?

Können alle 4-D-Spaltenmatrizen als Tensorprodukt von 2-D-Spaltenmatrizen angegeben werden?

Beweis der Einheitsbeziehung von Ensemble-Zerlegungen

Wie kann ich eine Gleichung mit Teilspur lösen?

Ein Tensorprodukt zweier Spin-1-Teilchen