Trace in nicht orthogonaler Basis?

Physiker definieren die Spur eines Operators ρ wie folgt,

T R ( ρ ) = ∑ | S ⟩ ∈ B ⟨ S | ρ | S ⟩

wobei B eine orthonormale Basis ist und diese Größe basisunabhängig ist.

Wenn wir B mit einer nicht-orthogonalen Basis C tauschen, welche Eigenschaften der Spur bleiben erhalten, wenn überhaupt? Insbesondere,

  • 1) Ist es jetzt basisabhängig? (Die intuitive Antwort scheint JA zu sein, aber können wir es besser machen?)
  • 2) Unter welchen Bedingungen (auf C und ρ ) wird dieser Wert den Wert der tatsächlichen Spur überschreiten? Ich werde mich mit einer Antwort begnügen, vorausgesetzt ρ ist ein Dichteoperator.

Danke!

Antworten (2)

Die Spur, die Sie in der Anfangsgleichung in Ihrer Frage definiert haben, ist gut definiert, dh unabhängig von der Basis, wenn die Basis orthonormal ist. Andernfalls führt diese Formel zu einer Zahl, die von der Basis abhängt (wenn sie nicht orthonormal ist) und die kein großes Interesse an der Physik hat. Wenn Sie nicht-orthonormale Basen verwenden möchten, sollten Sie eine andere Definition mit der dualen Basis verwenden: wenn { ψ N } eine generische Basis ist, wird ihre duale Basis als eine andere Basis definiert { ϕ N } mit ⟨ ϕ N | ψ M ⟩ = δ N M . In diesem Fall die Spur von ρ , dasselbe erhalten Sie mit Ihrer Formel für die orthonormale Basis (in diesem Fall ϕ N = ψ N ) Ist:

T R ρ = ∑ N ⟨ ϕ N | ρ ψ N ⟩ .
Alles, was ich geschrieben habe, gilt für endliche Dimensionen, ansonsten müssen einige weitere Anforderungen an Operatoren gelten.

NACHTRAG. (Ich betrachte immer noch den endlich dimensionalen Fall mit Dimension N > 1 .) Unter Verwendung Ihrer Definition von Trace, lassen Sie uns dies mit angeben T R C ( ρ ) , findet man immer ρ und eine nicht-orthogonale Basis C mit T R C ( ρ ) > T R ( ρ ) . Als Beispiel heraussuchen ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | mit | | ψ | | = 1 , so dass ρ ist ein reiner Zustand. Als nächstes fixieren Sie einen Kegel v eng um sich konzentriert ψ . Da jeder Kegel immer eine normalisierte Basis enthält, ist für jeden ϵ ∈ ( 0 , 1 ) , sich angemessen konzentrieren v um ψ Sie können eine normalisierte Basis finden C := { ϕ N } N = 1 , … , N ⊂ v mit | | ψ − ϕ N | | 2 > 1 − ϵ . Folglich:

T R C ( ρ ) = ∑ N | ⟨ ψ | ϕ N ⟩ | 2 > N ( 1 − ϵ ) > 1 = T R ( ρ ) .
Dies zeigt sich besonders z N = 2 , verwenden ϕ 1 := ψ Und ϕ 2 nahe bei ϕ 1 .

Danke das sieht richtig aus. Für meinen Zweck versuche ich jedoch tatsächlich, einige Eigenschaften meiner "Definition der Spur" zu verstehen (mangels einer besseren Art, es auszudrücken). Ich bin nämlich bei dem Ausdruck gelandet, den ich geschrieben habe, und versuche, seine Eigenschaften herauszufinden. Aber danke für den Einblick!
Sind die Vektoren in Ihrer Basis C normalisiert?
Das sagen Sie auch in Ihrer letzten Frage ρ ist ein Dichteoperator, aber Sie haben auch einen Rang. Meinst du das ρ ist ein reiner Zustand?
1. Ja, das sind sie. Ich bin auf eine andere Lösung gestoßen, indem ich die nicht-orthogonale Basis in Form einer orthogonalen Basis über eine Basisänderung geschrieben habe, und dadurch denke ich, dass die normalisierte Basis impliziert, dass die Basisänderung einheitlich ist, daher ist die berechnete "Spur" tatsächlich äquivalent der Spur. 2. Guter Fang, ich meinte nicht, dass der erste Teil einfach herausgerutscht ist.
Deine Spur T R C ( ρ ) kann immer geschrieben werden als: T R ( ρ S C ) , Wo T R ist die Standardspur und S C ist der positive (also selbstadjungierte) Operator definiert als S C := ∑ S ∈ C | S ⟩ ⟨ S | . Auf diese Weise können Sie Ihre Ablaufverfolgung mit Standardformalismus handhaben. Das können Sie zum Beispiel leicht nachweisen 0 ≤ T R ( S C ρ ) ≤ T R ( ρ 2 ) T R ( S C 2 ) . Wenn S ist also strikt positiv S − 1 existiert, können Sie so etwas bekommen T R ρ ≤ T R ( ρ S C − 1 ) T R ( ρ S C ) ...
Ich verwende nur die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, angewendet auf das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt und so etwas T R ρ = T R ( S C − 1 / 2 ρ 1 / 2 ρ 1 / 2 S C 1 / 2 ) die sich aus der Positivität von Operatoren und der zyklischen Eigenschaft der Spur ergibt ...
Es ist jedoch möglich, zu erhalten T R C ( ρ ) > T R ( ρ ) . Nehmen ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | , mit | | ψ | | = 1 es ist also ein reiner Zustand. Betrachten Sie als nächstes einen Kegel v eng um sich konzentriert ψ . Jeder Kegel enthält immer eine (normierte) Basis C = { ϕ N } ⊂ v . Als die ϕ N s sind ganz in der Nähe ψ , das kannst du bekommen | ⟨ ψ | ϕ N ⟩ | 2 > 1 − ϵ für ein festes ϵ ∈ ( 0 , 1 ) Und jeder N . Deshalb können Sie die Dinge so arrangieren ∑ N | ⟨ ψ | ϕ N ⟩ | 2 > 1 . Aber T R C ( ρ ) = ∑ N | ⟨ ψ | ϕ N ⟩ | 2 > 1 = T R ρ .
@bechira Beachten Sie, dass auch wenn (i) eine Basis B ist orthonormal und (ii) eine nicht-orthogonale Basis C normalisiert ist, ist die Basistransformationsmatrix nicht einheitlich. Betrachten Sie als Beispiel die Basis für C 2 mit Vektoren ( 1 , 0 ) T Und ( cos ⁡ θ , Sünde ⁡ θ ) T , Wo θ ≠ 0 , π , deren Transformationsmatrix aus der kanonischen Basis,
( 1 cos ⁡ θ 0 Sünde ⁡ θ )
ist nicht einheitlich. Man kann zeigen, dass die Basistransformation genau dann unitär ist, wenn die Zielbasis orthonormal ist.
@EmilioPisanty Ja, du hast Recht, danke für die Korrektur. Ich verstehe, warum es nicht einheitlich sein sollte, aber können Sie mir sagen, warum Folgendes gilt: let | S ⟩ = X | T ⟩ , wenn wir das innere Produkt dieses Ausdrucks mit sich selbst nehmen, heißt das nicht, ob |s> dann normiert ist X † X ist Normbewahrung? Bedeutet die Erhaltung der Norm nicht die Erhaltung des inneren Produkts im Hilbert-Raum?
@bechira Genau das ist der Punkt. Die Normerhaltung (über alle Vektoren) entspricht der inneren Produkterhaltung (über alle Vektoren), sodass Sie orthogonale Vektoren nicht in nicht-orthogonale überführen können. Eine Verwandlung X könnte die Norm von bewahren | S ⟩ Und | T ⟩ , aber es wird die Norm von nicht beibehalten | S ⟩ ± | T ⟩ es sei denn, es bewahrt auch das innere Produkt ⟨ S | T ⟩ .
@EmilioPisanty Ich verstehe, also ist die richtige Aussage, dass Operatoren, die orthogonale Basen zu richtig normalisierten nicht-orthogonalen Basen nehmen, nur die Norm der Basiselemente in jeder Basis beibehalten, aber nicht aller Vektoren im Raum. Richtig?
Ja, das ist genau richtig.

Sie können die Spur eines Endomorphismus auf jeder Basis (einschließlich nicht orthogonaler) berechnen.

In Dirac-Notation zeigen Sie dies, indem Sie die in der neuen Basis ausgedrückte Identität einfügen und neu anordnen:

∑ | S ⟩ ∈ B ⟨ S ∗ | ρ | S ⟩ = ∑ | S ⟩ ∈ B ⟨ S ∗ | ( ∑ | T ⟩ ∈ C | T ⟩ ⟨ T ∗ | ) ρ | S ⟩ = ∑ | S ⟩ ∈ B ∑ | T ⟩ ∈ C ⟨ S ∗ | T ⟩ ⟨ T ∗ | ρ | S ⟩ = ∑ | S ⟩ ∈ B ∑ | T ⟩ ∈ C ⟨ T ∗ | ρ | S ⟩ ⟨ S ∗ | T ⟩ = ∑ | T ⟩ ∈ C ⟨ T ∗ | ρ ( ∑ | S ⟩ ∈ B | S ⟩ ⟨ S ∗ | ) | T ⟩ = ∑ | T ⟩ ∈ C ⟨ T ∗ | ρ | T ⟩
Hier habe ich die Nicht-Standard-Notation verwendet ⟨ S ∗ | , ⟨ T ∗ | um die algebraisch duale Basis zu bezeichnen , die nur aus den BHs besteht ⟨ S | , ⟨ T | wenn wir mit einer orthonormalen beginnen.

Danke! Ich habe vor dem Posten auch versucht, dies zu tun, aber es ist mir nicht klar, warum die Summe der Projektionsoperatoren auf einer nicht orthogonalen Basis immer noch eine Auflösung der Identität wäre (der Identität, die Sie in die erste Zeile eingefügt haben). Wenn Sie zum Beispiel C = {(1,0), (1,1)} nehmen, haben diese dieselbe Spannweite wie {(1,0), (0,1)}, aber die Summe der Projektoren ist es nicht die Identität. Übersehe ich hier etwas?
∑ | T ⟩ ∈ C | T ⟩ ⟨ T | ≠ ICH allgemein wenn C ist nicht orthonormal. Die so berechnete Spur ist unabhängig von der Basis, wenn die Basis orthonormal ist. Ansonsten ist nicht wohldefiniert.
Trace in nicht orthogonaler Basis?
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