Vereinfachte Teilverfolgung von zwei Operatoren

Wenn ich zwei Operatoren A und B habe, die im zusammengesetzten Hilbert-Raum leben H ICH ⨂ H ICH ICH und ich möchte die teilweise Spur von nehmen C = A B über den Unterraum H ICH , dh, T R ICH [ A B ] , gibt es eine Identität, die mir dabei helfen kann T R ICH [ A ] Und T R ICH [ B ] . Was mich eigentlich interessiert, ist die Teilspur des Kommutators [ A , B ] .

Tut A B bedeuten A ⊗ B ?

Antworten (1)

Lassen H Und K seien Hilberträume mit Basen | e A ⟩ Und | F ich ⟩ , bzw.

Lassen A , B : H ⊗ K → H ⊗ K zwei Operatoren sein und lassen C = A ∘ B sei ihre Zusammensetzung. Dies bedeutet, dass sie von der Form sind

A   =   | e A ⟩ ⊗ | F ich ⟩   A A ich B J   ⟨ e B | ⊗ ⟨ F J | ,
B   =   | e B ⟩ ⊗ | F J ⟩   B B J C k   ⟨ e C | ⊗ ⟨ F k | ,
C   =   | e A ⟩ ⊗ | F ich ⟩   A A ich B J   B B J C k   ⟨ e C | ⊗ ⟨ F k | ,

wobei über wiederholte Indizes implizit summiert wird. Die Teilspuren vorbei H Sind

T R H A   =   | F ich ⟩   A A ich A J   ⟨ F J | ,
T R H B   =   | F J ⟩   B B J B k   ⟨ F k | ,
T R H C   =   | F ich ⟩   A A ich B J   B B J A k   ⟨ F k | .

T R H C enthält im Allgemeinen außerdiagonale Informationen, die nicht in enthalten sind T R H A Und T R H B , So T R H C kann im Allgemeinen nicht als Funktion von geschrieben werden T R H A Und T R H B nur.

Ähnliche Überlegungen gelten für den Kommutator A ∘ B − B ∘ A .

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